fixfix
2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Задача по теории множеств(Кудрявцев введение)
Сообщение30.12.2015, 00:28 


06/09/15
44
Найти подмножества A и B множества U, если известно, что
$\forall{x\in U}$ верно равенство:
$X\cap A = X\cup B$.
Тут я начал рассуждать, видимо, неверно:
$
X\cap A = X\cap B \Leftrightarrow (x\in X\cap A \to x \in X \cup B) \wedge (x\in X\cup B \to x \in X \cap A)

$

$
(x\in X\cap A \to x \in X \cup B) \Leftrightarrow (x\in X'\vee x\in A') \vee (x \in X \vee x \in B) \Leftrightarrow (x\in X'\vee x\in X) \vee (x \in A' \vee x \in B) \Leftrightarrow (x\in U) \vee (A\subset B)
$

$
(x\in X\cup B \to x \in X \cap A) \Leftrightarrow (x\in X'\wedge x\in B') \vee (x \in X \wedge x \in A) \Leftrightarrow (x\in X'\vee x\in X) \wedge (x\in X'\vee x\in A) \wedge(x\in B'\vee x\in X) \wedge (x\in B'\vee x\in A) \Leftrightarrow (x\in U) \wedge (X\subset A) \wedge (B\subset X) \wedge (B\subset A)
$
Наверно из
$ (A\subset B) \wedge (B\subset A) \Leftrightarrow A=B$
, но ответ другой.
Что-то я совсем тут запутался. Подскажите ход мысли, если этот не верен.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача по теории множеств(Кудрявцев введение)
Сообщение30.12.2015, 00:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/08/14
8886
Кто такое множество $X$ и что такое $x$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача по теории множеств(Кудрявцев введение)
Сообщение30.12.2015, 01:04 


06/09/15
44
Anton_Peplov в сообщении #1086917 писал(а):
Кто такое множество $X$ и что такое $x$?

Прошу прощения за место
$ \forall x \in U$
нужно
$ \forall X \subset U$

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача по теории множеств(Кудрявцев введение)
Сообщение30.12.2015, 01:25 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/08/14
8886
Если условие выполняется для любого $X \subset U$, то для $X = U$ тоже. Вот это и используйте.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача по теории множеств(Кудрявцев введение)
Сообщение30.12.2015, 01:41 
Аватара пользователя


14/10/13
339
Anton_Peplov в сообщении #1086920 писал(а):
Если условие выполняется для любого $X \subset U$, то для $X = U$ тоже. Вот это и используйте.
И противоположный крайний случай.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача по теории множеств(Кудрявцев введение)
Сообщение30.12.2015, 10:48 


06/09/15
44
popolznev в сообщении #1086926 писал(а):
Anton_Peplov в сообщении #1086920 писал(а):
Если условие выполняется для любого $X \subset U$, то для $X = U$ тоже. Вот это и используйте.
И противоположный крайний случай.

Здесь нет лайков. Но мне нравится это решение, спасибо.
Однако интересно, можно ли прийти к результату используя логику предикатов и как это записать правильно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача по теории множеств(Кудрявцев введение)
Сообщение30.12.2015, 13:05 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Можно расписать это решение поэлементно, но будет менее прозрачно. А логика предикатов тут в обоих случаях у дел.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача по теории множеств(Кудрявцев введение)
Сообщение31.12.2015, 02:17 


06/09/15
44
popolznev в сообщении #1086926 писал(а):
Anton_Peplov в сообщении #1086920 писал(а):
Если условие выполняется для любого $X \subset U$, то для $X = U$ тоже. Вот это и используйте.
И противоположный крайний случай.

А я опять был не внимателен. Если взять $X \subset U$, то из $X\subset A = U\subset A $ следует, что $U = A$. Но вот как получить, что $B = \emptyset $ - не понятно.
Что-то у меня с логикой вообще беда.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача по теории множеств(Кудрявцев введение)
Сообщение31.12.2015, 02:24 


20/03/14
12041
math.fi в сообщении #1087229 писал(а):
Если взять $X \subset U$, то из $X\subset A = U\subset A $ следует, что $U = A$.

Можно поподробнее? Кто на ком стоял?

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача по теории множеств(Кудрявцев введение)
Сообщение31.12.2015, 02:29 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/08/14
8886
Имелось в виду взять $X = U$. math.fi опечатался.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача по теории множеств(Кудрявцев введение)
Сообщение13.01.2016, 22:30 


06/09/15
44
Пусть
$
X =  \emptyset \qquad \textrm{,тогда }  (\emptyset\cap A =\emptyset \cup B) (1)
$
из чего следует, что $B = \emptyset $
$
X = U \qquad \textrm{,тогда }  (U\cap A = U \cup B) 
$
из этого и (1) следует $ A = U$

(Оффтоп)


 Профиль  
                  
 
 Re: Задача по теории множеств(Кудрявцев введение)
Сообщение14.01.2016, 13:51 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
18035
Москва

(math.fi)


 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 12 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group