Транзит длиною в день

[Astrofan]

Помогите, пожалуйста, разобраться с задачей:
При наблюдении из некоторого пункта в России прохождение Меркурия по диску солнца началось на восходе солнца, а закончилось на его заходе. В какой месяц года это произошло? Орбиту Меркурий считать круговой.
Авторское решение:
1) Находим расстояние:
d=$\frac{2R\cdot(L-l)}{L}$;
$R$ — радиус Солнца, $L$ — расстояние от Солнца до Земли, $l$ — расстояние от Солнца до Меркурия;
2) Дугу:
$\frac{d}{l}$;
3) Время:
$\frac{S\cdot d}{2\pi\l}$=6.5 ч.
На его основе делаем вывод о месяце.
Но мой одноклассник посчитал этот способ примерным настолько, что примернее некуда, объясняя это тем, что, умножая на синодический период, мы считаем скорость Меркурия относительно Земли постоянной. Но она таковой не является, и тем более мы можем вычислить её в данном случае как разность орбитальных скоростей Меркурия и Земли.
Решение одноклассника:
$t=\frac{d}{\upsilon - \nu}$=13 ч.

Нет ли ошибки в рассуждениях моего коллеги? Ведь его ответ в два раза больше, чем ответ полученный авторским решением.

[Munin]

Где-то двойку потерял, вот и всё.

А теперь расшифруйте обозначения. Вы удивитесь, но вокруг не телепаты.

[Astrofan]

Похоже на то, только где?

[Munin]

Astrofan в сообщении #1090389 писал(а):

Но мой одноклассник посчитал этот способ примерным настолько, что примернее некуда, объясняя это тем, что, умножая на синодический период, мы считаем скорость Меркурия относительно Земли постоянной. Но она таковой не является

В пределах погрешности - является. Посмотрите на число $d/l,$ оно вам покажет порядок точности вычислений, точнее, ограничение сверху на этот порядок.

Astrofan в сообщении #1090389 писал(а):

Но она таковой не является, и тем более мы можем вычислить её в данном случае как разность орбитальных скоростей Меркурия и Земли.

То есть, одноклассник не предложил более точного способа вычислений. Он предложил способ на том же уровне точности. Уже отсюда можно видеть, что его отличия от эталонного ответа - в чистом виде ошибка.

-- 13.01.2016 17:31:07 --

Astrofan в сообщении #1090392 писал(а):

Похоже на то, только где?

Я боюсь, в расчётах на калькуляторе. У меня по его формуле получается то, что надо.

[Pphantom]

Munin в сообщении #1090397 писал(а):

Я боюсь, в расчётах на калькуляторе. У меня по его формуле получается то, что надо.

Вообще-то странно, в вычислениях одноклассник не ошибся. А вот в рассуждениях ошибка действительно есть.

Думаю, что я знаю, в каком месте ошибся одноклассник. Однако угадывать не очень интересно, поэтому я лучше задам наводящий вопрос. Выражение для $d$ получено во вращающейся вместе с Землей системе отсчета и имеет смысл только в ней. В силу какого обстоятельства его можно поделить на результат применения обычного классического закона сложения линейных скоростей?

[Munin]

Pphantom в сообщении #1090458 писал(а):

Вообще-то странно, в вычислениях одноклассник не ошибся.

Тогда ошибся я :-)

-- 14.01.2016 00:38:51 --

(Оффтоп)

Щас я не пойду на подвиг повторять вычисления, но забивши в гугль все исходные данные, и взяв из него цифры (и из Википедии), я получил на калькуляторе что-то вроде 6,7 часов.

[Pphantom]

Munin в сообщении #1090484 писал(а):

Щас я не пойду на подвиг повторять вычисления, но забивши в гугль все исходные данные, и взяв из него цифры (и из Википедии), я получил на калькуляторе что-то вроде 6,7 часов.

Странно, очень странно. Давайте все-таки повторим, это несложно, благо я нужные данные просто помню.

Итак,

Astrofan в сообщении #1090389 писал(а):

$d=\frac{2R\cdot(L-l)}{L}$;

причем $R = 7 \cdot 10^5\text{~км}$, $L=1\text{~а.е.}$, $L=0.4\text{~а.е.}$. Подставляем, получаем $d= 2 \cdot 7 \cdot 10^5 \cdot 0.6/1 = 8 \cdot 10^5\text{~км}$. Средняя орбитальная скорость Земли около 30 км/с, Меркурия - 47 км/с, соответственно, время "по однокласснику" равно $\frac{8}{17} \, 10^5 = 5 \cdot 10^4$ секунд - примерно 14 часов.

Так что именно со счетом там все в порядке. А вот с идеологией - не очень.

[Munin]

А, я вспомнил, где я, в свою очередь, двойку потерял! В самой первой формуле для $d$! :-)

-- 14.01.2016 01:27:41 --

А, теперь понял и идеологический косяк. Но "формулу одноклассника"-таки можно допилить напильником! :-)

[Pphantom]

Munin в сообщении #1090499 писал(а):

А, теперь понял и идеологический косяк. Но "формулу одноклассника"-таки можно допилить напильником!

Можно. Но это сложнее, особенно с учетом того, что на олимпиаде, из которой взята эта задача, принято выдавать справочные данные, в которых есть не только сидерические, но и синодические периоды для планет "в готовом виде", а вот линейную орбитальную скорость еще считать придется.

[Munin]

Ну почему сложнее, просто $t=\dfrac{d}{\upsilon - \nu}\dfrac{l}{L}.$

[Pphantom]

Munin в сообщении #1090510 писал(а):

Ну почему сложнее

Сначала переходить от угловых скоростей к линейным, потом фактически возвращаться обратно... зачем?

[ET]

Astrofan в сообщении #1090389 писал(а):

Орбиту Меркурий считать круговой.

Ах, у Меркурия весьма вытянутая орбита, ЕМНИП раза в полтора скорость Меркурия в разных точках разнится.

[Pphantom]

ET в сообщении #1111999 писал(а):

Ах, у Меркурия весьма вытянутая орбита, ЕМНИП раза в полтора скорость Меркурия в разных точках разнится.

Да, это правильно, отношение скоростей в перигелии и афелии действительно примерно $1.5$, но в данном случае это не очень существенно.

Дело в том, что аргумент перицентра у Меркурия около $30^\circ$. Соответственно, в момент прохождения по диску Солнца Меркурий всегда (ну, конечно, не всегда, но в соседний с нами десяток тысяч лет) находится достаточно далеко и от перигелия, и от афелия орбиты, и его скорость в момент прохождений более-менее близка к круговой. Ну а поскольку это задача с олимпиады по астрономии 9 класса, то задачу просто немного упростили, выдав этот факт в качестве элемента условия.