Модули над кольцами

[Nusja02]

В универе задали сравнить примеры модулей над обычными кольцами и над коммутативными кольцами, нигде не могу найти примеры последних и вообще очень мало теории посвященной этой теме , может кто нибудь знает книги где подробно описываются оба случая была бы страшно признательна

[Профессор Снэйп]

"Обычные кольца" --- это какие? Некоммутативные что ли?

Добавлено спустя 24 минуты 21 секунду:

Nusja02 писал(а):

...и над коммутативными кольцами, нигде не могу найти примеры последних...

Вы для начала пример некоммутативного кольца попробуйте привести, а потом уже рассуждайте, что там обычно и что не обычно.

Мне вот, например, кроме $\mathbb{R}^3$ с обычным сложением векторов и векторным произведением ничего в голову сразу так и не приходит. Ну ещё кватернионы. Матрицы квадратные тоже, да... Нет, если, конечно, подумать, то примеров можно кучу налобать. Но это ведь специально думать надо! А так какое кольцо с потолка не возьми --- коммутативным окажется.

[Nusja02]

как раз примеры модулей над некоммутативными кольцами достаточно а вот над коммутативными нет, я еще пишу курсовую по этой теме и материала явно не хватает((

[Таня Тайс]

$\mahtbb{Z}[G]$ целочисленное групповое кольцо группы $G$. Каждая группа $G$, записанная мультипликативно,
порождает модуль $\mahtbb{Z}[G]$.
Каждый элемент из $\mahtbb{Z}[G]$ представляется единственным образом в виде
$\sum_{\sigma \in G}n(\sigma)\sigma$,
где $n(\sigma) \in \mathbb{Z},\, n(\sigma)=0$ для почти всех $\sigma \in G$

[Профессор Снэйп]

Каждое кольцо есть модуль над собой Каждое векторное пространство (над полем) есть модуль. Каждая абелева группа есть модуль над $\mathbb{Z}$.

Примеры коммутативных колец: $\mathbb{Z}_n$, $\mathbb{Z}$, $\mathbb{Q}$, $\mathbb{R}$, $\mathbb{C}$. Хватит или ещё надо?

[Таня Тайс]

В моем примере $\mathbb{Z}[G]$, как я понимаю, любая абелева группа $A$, на которой определено действие группы $G$ слева - это левый модуль над кольцом $\mathbb{Z}[G]$, где $ \forall \, a \in A, \, (\sum n(\sigma) \sigma)a:=\sum n(\sigma) \sigma (a)$.

Поправьте, если где ошиблась.

[Azog]

Очень рекомендую Винберга - но старое издание - в твердом переплете. В новом - эта глава переписана - помоему зря =)

[Nusja02]

спасибо вам огромное за советы уже почти закончила с основной частью осталось только введение и заключение. Поэтому снова обращаюсь к вам,у кого нибудь есть мысли что можно написать . что может заинтересовать в теме "Модули над кольцами"? какие открытия можно сделать разобрав эту тему? какая от них польза и т.д. если у кого то есть материал с подобным содержанием буду очень благодарна.

Добавлено спустя 1 час 23 минуты 27 секунд:

еще вопрос: как в Модули над кольцами применяются в современном мире? так воды на пол страницы а то я облазила весь инет а информации нет(((

[Попов А.В.]

Попробуйте рассмотреть конструкцию двойного модуля, т.е. когда заданы два действия кольца - слева и справа.Здесь как раз и проявятся некоторые особенности коммутативных и некоммутативных колец

[Nusja02]

эти особенности применяются на практике?

[Профессор Снэйп]

А меня вот всегда ставят в тупик вопросы "применения на практике". Что это значит? Понятно ведь, что модули над кольцами к сохе не приделаешь и землю ими пахать не будешь. Ну а что тогда остаётся? Какие-нибудь физические теории? Криптография? Статистический анализ? Что такое вообще "применение математических теорий в практике"?

[Nusja02]

мне просто надо какую нибудь умную статью чтобы сунуть ее во введение а то просто руки опускаются((( про что еще можно написать во введении к курсовой на тему Модули над кольцами (это моя первая курсовая поэтому серьезного материала в основной части нет только определения свойства и простейшие теоремы)?

[Профессор Снэйп]

А почему теоремы только простейшие? Можно, наверное, и сложных теорем нарыть.

И вот это противопоставление: модули над коммутативными vs модули над некоммутативными кольцами. Вы его сами решили взять за основу курсовой или препод подсказал? Если сами, то, может, лучше пересмотреть основную идею работы, пока не поздно? А то оно какое-то глупое, на мой взгляд, и малосодержательное.

[Nusja02]

нет препод сказал взять книжку по теме и начать набивать из нее главы пока не наберу нужное количество, поэтому так и получилось,с этим все нормально а вот вступление у меня не получается там надо несколько обощенных реплик про модули на кольцами, может историю развития ....

Добавлено спустя 1 минуту 9 секунд:

а противопоставления нет мне нужны были только примеры того и другого вида колец)

[Попов А.В.]

Профессор Снэйп писал(а):

И вот это противопоставление: модули над коммутативными vs модули над некоммутативными кольцами. Вы его сами решили взять за основу курсовой или препод подсказал? Если сами, то, может, лучше пересмотреть основную идею работы, пока не поздно? А то оно какое-то глупое, на мой взгляд, и малосодержательное.

Два разных объекта, наличие или отсутствие коммутативности сильно влияет на структуру объекта.