Снова "отрицание"

[Побережный Александр]

Уважаемые софорумники, снова обращаюсь за подсказкой по поводу операции "отрицание" на множестве.
Прошу не судить строго, я учусь. )
Отрицание в "житейской речи" обозначается частицей "не" и по смыслу (как я понимаю) означает "все, что угодно, кроме" того названия объекта, что следует после самой частицы. Результатом отрицания в таком смысле не может быть только один объект.

Рассмотрим выражение "НЕ белый цвет". Из всего множества цвета, порождаемых тремя базовыми, можно брать любой, кроме белого.

Другими словами, некоторое множество $X$ (множество базовых цветов) порождает булеан $\Omega$ (весь цветовой спектр).
Отрицание множества $A$ тогда соответствует выражению $\Omega \diagdown A$, где $A\subset X$ и $A\in\Omega$, как элемент булеана.

На мой взгляд, рассматривать дополнение $X\diagdown A$ как отрицание не очень корректно.

[arseniiv]

Побережный Александр в сообщении #1088978 писал(а):

Отрицание в "житейской речи" обозначается частицей "не" и по смыслу (как я понимаю) означает "все, что угодно, кроме" того названия объекта, что следует после самой частицы.

Не всегда. Естественные языки — очень интересные штуковины.

Побережный Александр в сообщении #1088978 писал(а):

Рассмотрим выражение "НЕ белый цвет". Из всего множества цвета, порождаемых тремя базовыми, можно брать любой, кроме белого.

Вот, кстати, это может быть понято как «не (белый цвет)», т. е. «какой угодно цвет, но не белый, или что угодно, но не цвет».

Побережный Александр в сообщении #1088978 писал(а):

Другими словами, некоторое множество $X$ (множество базовых цветов) порождает булеан $\Omega$ (весь цветовой спектр).

Не соответствует физике.

Соответственно, дальше ничего сказать нельзя. Определите точнее, что вы имеете в виду, иначе апелляции к семантике бессмысленны.

-- Пт янв 08, 2016 17:16:07 --

Плюс, разность множеств $X\setminus A$ кодируется как \setminus. У неё немного лучший вид, чем у не предназначенной для этого \diagdown. Да и операция на множествах называется «дополнение». Отрицания никакого у множеств нет.

[3D Homer]

На множествах есть операция "дополнение", а отрицание применяется только к высказываниям (то есть к чему-то, что может быть истинным или ложным).

[Побережный Александр]

Естественный язык не так формализован, как математический. Но ведь люди общаются и обмениваются информацией. Вот я и пытаюсь уловить, что именно несет информацию в обычной речи. Ведь есть вполне осмысленное общение даже между животными, не говоря про общение человека и животного.

Почему я задействовал в рассуждениях булеан?
Давайте рассмотрим другой пример.
Человеческий мозг получает информацию через рецепторы. Их конечное число, это множество $X$.
Некий объект воздействует на определенное количество рецепторов, это подмножество $A$. $ A \subset X$.
Я предположил, что мозг выступает хранилищем поступающих образов от рецепторов, множество всех подмножеств $\Omega$. Здесь $A$ выступает элементом булеана $\Omega$.
Дополнение к $X$ не несет никакую смысловую нагрузку. А вот дополнение к булеану, мне кажется, более информативно.

Пример, "это цветок". Мозг фиксирует подмножество $A$.
"Это Не цветок". Мозг понимает, что здесь произвольное подмножество $X$, кроме $A$.

[arseniiv]

Побережный Александр в сообщении #1089125 писал(а):

Но ведь люди общаются и обмениваются информацией. Вот я и пытаюсь уловить, что именно несет информацию в обычной речи.

Тогда надо читать книги по лингвистике, чтобы не пытаться впустую.

Побережный Александр в сообщении #1089125 писал(а):

Давайте рассмотрим другой пример.
Человеческий мозг получает информацию через рецепторы. Их конечное число, это множество $X$.
Некий объект воздействует на определенное количество рецепторов, это подмножество $A$. $ A \subset X$.
Я предположил, что мозг выступает хранилищем поступающих образов от рецепторов, множество всех подмножеств $\Omega$. Здесь $A$ выступает элементом булеана $\Omega$.
Дополнение к $X$ не несет никакую смысловую нагрузку. А вот дополнение к булеану, мне кажется, более информативно.

Пример, "это цветок". Мозг фиксирует подмножество $A$.
"Это Не цветок". Мозг понимает, что здесь произвольное подмножество $X$, кроме $A$.

А более математические аргументы и более реальные модели будут?

[Mbl_BCE_yMPEM]

Товарищ, это раздел ПОМОГИТЕ РЕШИТЬ/РАЗОБРАТЬСЯ, а вы вносите предложения по улучшению (современной математической терминологии). Вам скорее всего этот пост следовало адресовать в дискуссионные темы.

[Побережный Александр]

Уважаемый arseniiv, прошу не судить меня строго за мои рассуждения и подсказать мои заблуждения.
У меня нет цели попасть в Пургаторий.
Когда речь идет о дополнении в качестве "отрицания", то первое что меня насторожило, если множество состоит всего из одного элемента, то его дополнением будет пустое множество. Но такого элемента нет в множестве, состоящем из одного элемента. А вот в булеане имеется.

1. Рассмотрим множество $X$ состоящее только из одного элемента $A$.
Булеан такого множества состоит из двух элементов: $\Omega=\{\{\varnothing\};\{A\}\}$
Делаем соответствие элементу $A$ множества $X$ ставим в соответствие элемент $\{A\}$ булеана $\Omega$
Соответственно отрицанию $A$ (или $\neg A$) будет соответствовать элемент булеана $\{\varnothing\}$
Элемент булеана $\{\varnothing\}$ можем как-нибудь назвать.

2. Рассмотрим множество $X$ состоящее из двух элементов. $X=\{true;no true\}$
Чтобы часто не повторялась частица "не", переименуем второй элемент на $false$. $X=\{true;false\}$
Булеан такого множества будет состоять уже из четырех элементов. $\Omega=\{\{\varnothing\};\{true\};\{false\};\{true;false\}\}$
Теперь делаем соответствия. Элементу $true$ множества $X$ ставим в соответствие элемент булеана $\{true\}$
Элементу $false$ множества $X$ ставим в соответствие элемент булеана $\{false\}$
А что поставим в соответствие $\neg true$? Либо $\{\varnothing\}$, либо $\{false\}$, либо $\{true;false\}$
Традиционно \neg true связывают с $\{false\}$. А остальные элементы булеана как трактовать?
Я следующим образом трактую:
$\{\varnothing\}$ - это какой-то новый объект,
$\{true;false\}$ - это объект, вызывающий парадокс.
Аналогичные рассуждения для $\neg false$.
Эти рассуждения можно применять на множество $X$ с большим количеством элементов.

Подчеркиваю, в своих рассуждениях я использовал "отрицание", как дополнение в булеане.

Уважаемы модераторы, прошу отнестись к моим рассуждениям снисходительно. Я не претендую на истину в последней инстанции, это всего лишь рассуждения. С радостью приму критику и замечания.

[Mbl_BCE_yMPEM]

Простите, я уверен что вы знаете определение дополнения к множеству А над универсальным Х: это множество всех элементов Х, кроме тех которые принадлежат А.
Булеаны тут причем?

[provincialka]

Побережный Александр в сообщении #1089240 писал(а):

если множество состоит всего из одного элемента, то его дополнением будет пустое множество. Но такого элемента нет в множестве, состоящем из одного элемента.

И что? Понятия рассматриваются как подмножества универсума, а не как его элементы! Например, в представлении мусульманина "Бог, но не Аллах" -- пустое понятие (пример христианства не беру, чтобы не уйти в рассуждения о троице). И почему же это пустое понятие нужно считать элементом множества богов? Хм...

[arseniiv]

Побережный Александр в сообщении #1089240 писал(а):

Когда речь идет о дополнении в качестве "отрицания", то первое что меня насторожило, если множество состоит всего из одного элемента, то его дополнением будет пустое множество. Но такого элемента нет в множестве, состоящем из одного элемента. А вот в булеане имеется.

Приведите определение дополнения и покажите, как из него следует утверждаемое, раз уж мы в ПРР.

Побережный Александр в сообщении #1089240 писал(а):

1. Рассмотрим множество $X$ состоящее только из одного элемента $A$.
Булеан такого множества состоит из двух элементов: $\Omega=\{\{\varnothing\};\{A\}\}$

Неверно. Булеаном $\{A\}$ будет $\{\varnothing,\{A\}\}$.

Побережный Александр в сообщении #1089240 писал(а):

2. Рассмотрим множество $X$ состоящее из двух элементов. $X=\{true;no true\}$
Чтобы часто не повторялась частица "не", переименуем второй элемент на $false$. $X=\{true;false\}$
Булеан такого множества будет состоять уже из четырех элементов. $\Omega=\{\{\varnothing\};\{true\};\{false\};\{true;false\}\}$
Теперь делаем соответствия. Элементу $true$ множества $X$ ставим в соответствие элемент булеана $\{true\}$
Элементу $false$ множества $X$ ставим в соответствие элемент булеана $\{false\}$
А что поставим в соответствие $\neg true$? Либо $\{\varnothing\}$, либо $\{false\}$, либо $\{true;false\}$
Традиционно \neg true связывают с $\{false\}$. А остальные элементы булеана как трактовать?
Я следующим образом трактую:
$\{\varnothing\}$ - это какой-то новый объект,
$\{true;false\}$ - это объект, вызывающий парадокс.
Аналогичные рассуждения для $\neg false$.
Эти рассуждения можно применять на множество $X$ с большим количеством элементов.

А мотивировка такого «отрицания» где? (Кроме уже упомянутых проблем с булеаном.)

[Побережный Александр]

arseniiv в сообщении #1089259 писал(а):

Неверно. Булеаном $\{A\}$ будет $\{\varnothing,\{A\}\}$.

Конечно же я допустил ошибку, полностью согласен с вами.

provincialka в сообщении #1089249 писал(а):

Понятия рассматриваются как подмножества универсума, а не как его элементы!

Определение дополнения выглядит так:
$A^C=X\setminus A\equiv\{x\in X\mid x\notin A\}$
Насколько я знаю, знак принадлежности используется по отношению именно к элементам.

arseniiv в сообщении #1089259 писал(а):

А мотивировка такого «отрицания» где?

Если я правильно понял вопрос, то вы спросили зачем нам такое отрицание?
Как я представляю, такая операция "отрицания" позволяет создать систему, которая постоянно расширяет универсум за счет появления новых элементов. В свою очередь, наличие булеана заставляет ожидать появления такого подмножества, которое еще не появилось к данному моменту времени. Это будет саморазвивающая система.

[arseniiv]

Побережный Александр в сообщении #1089506 писал(а):

Как я представляю, такая операция "отрицания" позволяет создать систему, которая постоянно расширяет универсум за счет появления новых элементов.

Во-первых, универсум уже дан и не может никуда расширяться (либо у нас есть последовательность универсумов, и дополнения по отношению к каждому из них надо аккуратно отделять). Во-вторых, для любого данного набора операций над множествами всегда найдётся класс множеств, замкнутый относительно них, т. е. применение их к элементам этого класса будет давать только то, что в нём уже есть, и это довольно тривиальные результат, даже если не брать в качестве примера класс всех множеств, а поискать какой-нибудь поуже.

Побережный Александр в сообщении #1089506 писал(а):

Определение дополнения выглядит так:
$A^C=X\setminus A\equiv\{x\in X\mid x\notin A\}$
Насколько я знаю, знак принадлежности используется по отношению именно к элементам.

Думаю, provincialka имела в виду, что если у нас есть какой-то содержащий все интересующие вещи универсум, понятия естественно понимаются как его подмножества, равные объёму понятия, а не отдельные элементы. Элементов слишком мало, и мы не сможем никаким элементом универсума $A = \{a = \text{деревянный стул в зале},$ $b = \text{деревянный стул под столом},$ $c = \text{конфета «Коровка»}\}$ выразить понятие «стул». А подмножеством $C=\{a,b\}$ сможем. Дополнение до универсума сделает из $C$ «не-стул» $\{c\}$. Булеану $2^A$ универсума при этом принадлежат все возможные понятия, выразимые в нём. Дополнение в булеане будут сопоставлять одному подмножеству понятий другое, а не одному понятию дополнительное.

Короче, до сих пор ясно выразить, зачем это нужно, вы не смогли. Это в сочетании с контекстом прямо указывает, что основы не очень-то пройдены. Вам наверняка это уже говорили прямо, так что новостью это быть не должно, как и рекомендуемые для исправления такой ситуации действия.

[Побережный Александр]

arseniiv в сообщении #1089581 писал(а):

универсум уже дан и не может никуда расширяться

Тогда надо определиться с универсумом.
Для меня это множество, на котором МОЖЕТ ПРОЯВИТЬСЯ подмножество $A$.
Например, на столе 8 ламп. Они могут гореть, а могут не гореть. Для удобства занумеруем лампы.
Универсум $X$ - это просто 8 ламп.
Если горят лампы 2 и 3, это будет подмножество $A$. Именно "горящие" лампы указывают на подмножество $A$.
Причем, если горят лампы 6 и 7, это другое подмножество.
Горящие 8 ламп - это подмножество $A$.
Просто 8 ламп (и не важно горят они или нет)- это универсум $X$.
Сколькими способами можно зажечь 8 ламп?

$\Omega=2^8=256$

Это будет булеан (множестов подмножеств) на 8 лампах.
Я не просто выбрал 8 ламп. Каждый способ загорания ламп кодирует определенный символ.
Для кодирования китайских иероглифов нашего универсума будет не достаточно.
Другими словами понадобятся еще несколько ламп.

Вернемся к "отрицанию".
Пусть горят лампы 2 и 3. И пусть это соответствует символу $.
Получается "НЕ $" будет соответствовать символу, когда горят лампы 1,4,5,6,7,8?
По моей логике "НЕ $" должен соответствовать любой символ булеана, кроме $.

Рассмотрим, по аналогии, универсум из двух ламп.
Если горит одна лампа - это $true$.
Если горит другая лампа - это $false$.
Но тогда надо понимать, что означают две негорящие лампы или две горящие лампы.

[bot]

У Вас, если горит другая, то первая не горит? Не лучше ли (чтобы не запутывать себя) взять универсум из одной лампы - первой?

[Побережный Александр]

bot в сообщении #1090087 писал(а):

У Вас, если горит другая, то первая не горит? Не лучше ли (чтобы не запутывать себя) взять универсум из одной лампы - первой?

Согласен, такой вариант возможен.
Если универсум будет из одного элемента, тогда булеан будет иметь два элемента, один из которых "пустое множество".
Можно обозначить "горящую" лампу как $true$, тогда $no true$ будет пустое множество.
Возможно, под "пустым множеством" можно понимать все что угодно, кроме $true$.