Ну раз автор условно "умер", то поговорим.
О вещах столь очевидных специалистам, но которые, почему-то остаются загадкой для некоторых учащихся.
Косвенные измерения - вещь замечательная. Но, надо сказать, вещь в себе. Возможны они только тогда, когда между искомой величиной и измеряемыми есть функциональная зависимость. Самое интересное, что функциональная зависимость сама по себе имеет естественную неточность, но это уже не вопрос косвенных измерений.
Итак, пусть мы хотим узнать значение величины
![$M$ $M$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/b/9/fb97d38bcc19230b0acd442e17db879c82.png)
, но измерить ее у нас нет возможности - либо нет таких средств измерений, либо это дорого, либо это вообще величина не физическая. Но, предположим, что мы знаем о наличии некоторой зависимости между
![$M$ $M$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/b/9/fb97d38bcc19230b0acd442e17db879c82.png)
и какими-либо параметрами
![$x, y, ..., z$ $x, y, ..., z$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/a/c/cac10d30d71bc95c9af831634e004fca82.png)
, которые мы можем измерить непосредственно, т.е.
Полный дифференциал этой функции выглядит так
Средняя квадратическая погрешность величины
Существует простой прием получения
![$\sigma_M$ $\sigma_M$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/d/3/dd336d796a8a8df466e8a10a2e3a7f2b82.png)
из
![$dM$ $dM$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/e/8/0e8b70f71afd13858fc1b17cf228940e82.png)
, который особенно актуален, если человек не знает дифференциального исчисления, т.е. это абитуриенты, школьники и студенты первого семестра.
В выражение для
![$dM$ $dM$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/e/8/0e8b70f71afd13858fc1b17cf228940e82.png)
входят слагаемые вида
![$\frac{\partial f} {\partial x} dx$ $\frac{\partial f} {\partial x} dx$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/d/c/6dcc5ca879e4bfa48b103b8539897f9382.png)
. Для получения аналогичных слагаемых в
![$\sigma_M$ $\sigma_M$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/d/3/dd336d796a8a8df466e8a10a2e3a7f2b82.png)
нужно заменить
![$dx$ $dx$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/4/3/74380e4b90b7786c87c490f3d94f2f6882.png)
на
![$\sigma_x$ $\sigma_x$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/e/b/4ebb7b9f51ef56b286b2b327249caa8c82.png)
и возвести каждое такое слагаемое в квадрат, включая и
![$dM$ $dM$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/e/8/0e8b70f71afd13858fc1b17cf228940e82.png)
.
Рассмотрим две
практически значимые ситуации
1)
![$M$ $M$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/b/9/fb97d38bcc19230b0acd442e17db879c82.png)
представляет собой сумму измеряемых величин:
![$M = x+y+...+z$ $M = x+y+...+z$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/f/1/7f10472f1ec5fb65206b84f0d2fe2fc282.png)
.
Тогда
![$dM = dx + dy + ... + dz$ $dM = dx + dy + ... + dz$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/3/2/53257ad9caf484754b123997e7a3266d82.png)
и, соответственно,
![$\sigma_M = \sqrt{ \sigma_x^2 + \sigma_y^2 + ... + \sigma_z^2}$ $\sigma_M = \sqrt{ \sigma_x^2 + \sigma_y^2 + ... + \sigma_z^2}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/a/9/7a94b56578c2d06f20a75952fbe72d4a82.png)
.
2)
![$M$ $M$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/b/9/fb97d38bcc19230b0acd442e17db879c82.png)
представляет собой произведение измеряемых величин:
![$M = xy...z$ $M = xy...z$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/6/f/46ffdc29ad4e19a610af1d9548cd868b82.png)
.
Прологарифмируем это выражение
![$\ln M = \ln (xy...z) = \ln x + \ln y + ... + \ln z$ $\ln M = \ln (xy...z) = \ln x + \ln y + ... + \ln z$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/b/5/eb531f1ccca87e4b1065da9cb58d534582.png)
.
Теперь продифференцируем полученное выражение
![$$ \frac{dM}{M} = \frac {dx}{x} + \frac {dy}{y} + ... + \frac{dz}{z}$$ $$ \frac{dM}{M} = \frac {dx}{x} + \frac {dy}{y} + ... + \frac{dz}{z}$$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/7/1/17174d18069f859d6fb73ddc15417f6e82.png)
. Особенный интерес этого результата заключается в том, что он представляет собой
сумму относительных погрешностей.
Пользуясь либо формулой, либо правилом, получим выражение для
![$$\sigma_M= M \sqrt{ \left( \frac{ \sigma_x}{x} \right )^2 + \left( \frac{ \sigma_y}{y} \right )^2 +
... + \left( \frac{ \sigma_z}{z} \right )^2}$$ $$\sigma_M= M \sqrt{ \left( \frac{ \sigma_x}{x} \right )^2 + \left( \frac{ \sigma_y}{y} \right )^2 +
... + \left( \frac{ \sigma_z}{z} \right )^2}$$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/e/5/be57c83d4b3113e004e39b69045cfa4182.png)