Помогите найти погрешность косвенного измерения

[tikho]

Помогите найти погрешность косвенного измерения
I= 1/2 * {m_2 * ( R_1^2 + R_2^2)* \frac {T_1^2}{T_2^2-T_1^2} m_2=const; \frac 1 {2}=const; ln I=ln (R_1^2 + R_2^2)+2*ln(T_1)-ln(T_2^2-T_1^2) ln (R_1^2 + R_2^2)= \frac {2*(R_1+R_2)} {R_1^2 + R_2^2}; 2*ln(T_1)=2/T_1; ln(T_2^2-T_1^2)= \frac {2*(T_2-T_1)} {T_2^2-T_1^2}; $\triangle\ I=\widetilde{I}$ * а дальше я не знаю как писать,помогите пожалуста!

[Парджеттер]

Что-то у вас непонятно написано само задание. Но в целом, вроде понятно.

Так что у меня к вам два вопроса
1) что такое косвенное измерение?
2) как вообще вычислить погрешность косвенного измерения?

И, как следствие, вопрос - вы логарифмировали. Это правильно. Но зачем? Если вы ответите на этот вопрос, вам сразу станут ясны дальнейшие действия.

Кроме того, из того, что у вас есть постоянные величины, отнюдь не следует, что логарифмы этих постоянных величин можно принят равными нулю. Это ошибка.

А в последней строчке с формулами

Цитата:

ln (R_1^2 + R_2^2)= \frac {2*(R_1+R_2)} {R_1^2 + R_2^2}; 2*ln(T_1)=2/T_1; ln(T_2^2-T_1^2)= \frac {2*(T_2-T_1)} {T_2^2-T_1^2};

у вас вообще написан какой-то кавардак.

[photon]

Если не ошибаюсь, то нас когда-то давно учили вычислять погрешность косвенного измерения $f(p_1,p_2,\ldots,p_N)$ как $\Delta f=\sqrt{\left(\frac{\partial f}{\partial p_1} \Delta p_1\right)^2+\left(\frac{\partial f}{\partial p_2} \Delta p_2\right)^2+\ldots+\left(\frac{\partial f}{\partial p_N} \Delta p_N\right)^2}$

[Парджеттер]

photon писал(а):

Если не ошибаюсь, то нас когда-то давно учили вычислять погрешность косвенного измерения $f(p_1,p_2,\ldots,p_N)$ как $\Delta f=\sqrt{\left(\frac{\partial f}{\partial p_1} \Delta p_1\right)^2+\left(\frac{\partial f}{\partial p_2} \Delta p_2\right)^2+\ldots+\left(\frac{\partial f}{\partial p_N} \Delta p_N\right)^2}$

Где $\Delta p_i$ имеет смысл, конечно же, $\sigma_i$, т.е. средней квадратической погрешности измерения $i$-ой величины. Разумеется, это всё совершенно верно, однако, хотелось бы, чтобы tikho понял, откуда берется эта формула.

Потому что, увы, частенько приходится сталкиваться со студентами уже старших курсов, не говоря о младших, которые совсем не понимают этих формул, не говоря уже о самом смысле и значении косвенных измерений. В лучшем случае, выдают заученную формулу.

[Зангези]

photon писал(а):

Если не ошибаюсь, то нас когда-то давно учили вычислять погрешность косвенного измерения $f(p_1,p_2,\ldots,p_N)$ как $\Delta f=\sqrt{\left(\frac{\partial f}{\partial p_1} \Delta p_1\right)^2+\left(\frac{\partial f}{\partial p_2} \Delta p_2\right)^2+\ldots+\left(\frac{\partial f}{\partial p_N} \Delta p_N\right)^2}$

Стоит отметить, что формула эта является приближённой и вывод её сопряжён с рядом допущений. В более общем случае требуется говорить о доверительной вероятности и доверительных интервалах для погрешности.

[Парджеттер]

Ну раз автор условно "умер", то поговорим.
О вещах столь очевидных специалистам, но которые, почему-то остаются загадкой для некоторых учащихся.

Косвенные измерения - вещь замечательная. Но, надо сказать, вещь в себе. Возможны они только тогда, когда между искомой величиной и измеряемыми есть функциональная зависимость. Самое интересное, что функциональная зависимость сама по себе имеет естественную неточность, но это уже не вопрос косвенных измерений.

Итак, пусть мы хотим узнать значение величины $M$, но измерить ее у нас нет возможности - либо нет таких средств измерений, либо это дорого, либо это вообще величина не физическая. Но, предположим, что мы знаем о наличии некоторой зависимости между $M$ и какими-либо параметрами $x, y, ..., z$, которые мы можем измерить непосредственно, т.е. $M=f(x,y,...z)$

Полный дифференциал этой функции выглядит так

$$dM = \frac{\partial f} {\partial x} dx + \frac{\partial f} {\partial y} dy + ... + \frac{\partial f} {\partial z} dz$$

Средняя квадратическая погрешность величины $M$

$$\sigma_M = \sqrt{ \left( \frac{\partial f} {\partial x} \right)^2 \sigma_x^2 + \left( \frac{\partial f} {\partial y} \right)^2 \sigma_y^2 + ... + \left( \frac{\partial f} {\partial z} \right)^2 \sigma_z^2 }$$

Существует простой прием получения $\sigma_M$ из $dM$, который особенно актуален, если человек не знает дифференциального исчисления, т.е. это абитуриенты, школьники и студенты первого семестра.
В выражение для $dM$ входят слагаемые вида $\frac{\partial f} {\partial x} dx$. Для получения аналогичных слагаемых в $\sigma_M$ нужно заменить $dx$ на $\sigma_x$ и возвести каждое такое слагаемое в квадрат, включая и $dM$.

Рассмотрим две практически значимые ситуации

1) $M$ представляет собой сумму измеряемых величин: $M = x+y+...+z$.
Тогда $dM = dx + dy + ... + dz$ и, соответственно, $\sigma_M = \sqrt{ \sigma_x^2 + \sigma_y^2 + ... + \sigma_z^2}$.

2) $M$ представляет собой произведение измеряемых величин: $M = xy...z$.
Прологарифмируем это выражение $\ln M = \ln (xy...z) = \ln x + \ln y + ... + \ln z$.
Теперь продифференцируем полученное выражение

$$ \frac{dM}{M} = \frac {dx}{x} + \frac {dy}{y} + ... + \frac{dz}{z}$$

. Особенный интерес этого результата заключается в том, что он представляет собой сумму относительных погрешностей.
Пользуясь либо формулой, либо правилом, получим выражение для $\sigma_M$

$$\sigma_M= M \sqrt{ \left( \frac{ \sigma_x}{x} \right )^2 + \left( \frac{ \sigma_y}{y} \right )^2 + ... + \left( \frac{ \sigma_z}{z} \right )^2}$$

[Shamrel]

Извиняюсь, что тревожу старую тему, но есть вопрос, на который не могу найти ответ самостоятельно. Требуется оценить погрешность косвенного измерения, измеряется комплексная величина, поэтому следует найти относительную погрешность измерения модуля и фазы. Так как искомая величина есть функция семи комплексных переменных, для каждого из которых заданы относительные погрешности модуля и фазы, то аналитический расчет мне представился неимоверно громоздким. Расчет производил численными методами. Нашел полный дифференциал функции, но как из него получить непосредственно относительную погрешность модуля и фазы не совсем понятно. Если с модулем еще можно поступить как то так:
$ \Delta |\Gamma| = |d\Gamma| $,

то как найти $\Delta\phi_\Gamma$ я не могу понять.