Уменьшение числа

[Ktina]

При каких натуральных значениях $n$ число может уменьшиться в $n$ раз при зачёркивании первой цифры?
У меня получились следующие значения:
3 5 6 7 9 11 13 15 16 17 19 21 25 26 29 31 33 36 37 41 46 49 51 57 61 65 71 73 81 91
Опасаюсь, что где-то вкралась ошибка по невнимательности.
Как бы это проверить?

[Begemot82]

не внимателен

[arseniiv]

15 → 5.

[Это относилось к предыдущему сообщению в его предыдущей редакции. ]

[provincialka]

Имеем $a\cdot10^k+x=nx$, откуда $(n-1)x=a\cdot10^k$. То есть, число $(n-1)$ -- делитель $a\cdot 10^k$. То есть оно равно $b\cdot2^m 5^l$, где $b$ -- число от 1 до 9.

[Ktina]

provincialka
Спасибо!

[provincialka]

Например, при $m=4,l=2$ получаем $n=400b+1$. Подходит, скажем $n=801$, для него $x=2c\frac{10000}{800}=25c$ где $1\leqslant c\leqslant 5 $.
Проверяем: $60075=801\cdot75$.
Конечно, после отбрасывания $6$ остаётся число,начинающееся с 0... Но с точки зрения математики оно ничем не хуже остальных

[Ktina]

provincialka в сообщении #1089346 писал(а):

Конечно, после отбрасывания $6$ остаётся число,начинающееся с 0... Но с точки зрения математики оно ничем не хуже остальных

Моя идея как раз заключалось в том, чтобы выписать все возможные значения. А для этого необходимо договориться на берегу, что число не может начинаться с нуля.

[arseniiv]

Пора придумывать задачи для биективных* систем счисления.

* Или как их лучше звать, мне слово не очень нравится. По замыслу его авторов оно означает, что любому числу соответствует ровно одна строка цифр. В обычных позиционных системах это из-за ведущих нулей не так; кстати, унарная система как раз из числа биективных.

-- Сб янв 09, 2016 19:13:27 --

https://en.wikipedia.org/wiki/Bijective_numeration

[provincialka]

Ktina
Да пожалуйста! Надо только немного доработать решение -- а это уж вам и карты в руки!

[Skeptic]

(Оффтоп)

Для 15 → 5 исходное число уменьшается в три раза, а по постановке оно не должно измениться.

[provincialka]

Skeptic в сообщении #1089524 писал(а):

Для 15 → 5 исходное число уменьшается в три раза, а по постановке оно не должно измениться.

Где это сказано?

Ktina в сообщении #1089324 писал(а):

При каких натуральных значениях $n$ число может уменьшиться в $n$ раз при зачёркивании первой цифры?

[Skeptic]

Ktina в сообщении #1089324 писал(а):

При каких натуральных значениях $n$ число может уменьшиться в $n$ раз при зачёркивании первой цифры?

Должно выполняться условие $n/n=1$, например, 11, 21, ... 91.

[provincialka]

Skeptic
Не сказано, что уменьшается число $n$. Например, при зачеркивании первой цифры число $92$ превращается в 2, то есть уменьшается в $46$ раз, $n =46$.

[INGELRII]

Skeptic
Я вроде уже успел привыкнуть к вашим недетским отжигам, но в этот раз меня таки проняло. Ну давайте приведите пример числа, у которого первая цифра не ноль и которое при зачеркивании этой первой цифры уменьшается ровно в $1$ раз. Мне ооочень интересно посмотреть.

[Skeptic]

provincialka, спасибо. Я всё понял.