2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Об аппроксимации числом вида p^n
Сообщение07.01.2016, 23:23 


01/11/14
195
Возникла задача, связанная с аппроксимацией числом вида $ p^n, p\in P$ (простое), $n\in N$ (натуральное). Просьба подсказать, встречались ли где-нибудь оценки точности такой аппроксимации. Вопрос формулируется так:
Пусть $ k_1(x)=\max \{p^n \le x | p \in P, n\in N \}$, $k_2(x)=\min \{p^n \ge  x | | p \in P, n\in N\}.$
Какие значения принимают величины $k_1(\infty)=_{def} \lim \inf _ {x \to \infty} (k_1(x)/x) $ и $k_2(\infty)=_{def} \lim \sup _ {x \to \infty} (k_2(x)/x) = 1$?
И, наконец, верно ли, что $k_1(\infty)= k_2(\infty)= 1$ ?

 Профиль  
                  
 
 Re: Об аппроксимации числом вида p^n
Сообщение08.01.2016, 12:24 


08/09/13
210
Функция распределения степеней простых отличается от простых на что-то порядка $\sqrt{x}$ (это просто $\pi(x)+\pi(x^\frac{1}{2})+\pi(x^\frac{1}{3})+\dots=\pi(x)+O(\sqrt{x})$).
Поэтому критично ничего не меняется, можно только остаточный член уточнять, да и то, кажется, несложно, если много знать про $\pi(x)$.
Да, ваши соотношения верны, потому что это, по сути, пределы $\frac{x+O(\ln{x})}{x}$ при $x \to \infty$

 Профиль  
                  
 
 Re: Об аппроксимации числом вида p^n
Сообщение08.01.2016, 17:18 


01/11/14
195
fractalon, спасибо.
Чтобы удостовериться в правильном понимании запишу в явном виде формулы для погрешностей такой аппроксимации:
$ \delta_1(x) = 1-k_1(x)/x$, $\delta^*_1(x) = \max_{x’ \le x} (x'-k_1(x’))/x$,
$ \delta_2(x) = k_2(x)/x-1$, $\delta^*_2(x) = \max_{x’ \le x} (k_1(x’)-x')/x$.
Далее мы получаем $\delta^*_i(x)=O(?)$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Об аппроксимации числом вида p^n
Сообщение08.01.2016, 23:38 


08/09/13
210
А вот тут вы, кажется, изменили задачу. Как я понимаю, ставить вопрос о максимальном интервале между степенями простых меньше данного - это, вообще говоря, не то же самое, что просто средняя длина между соседними (то есть функция распределения). Хотя интуитивно на первый взгляд кажется, что всё одинаково и тут будет $O(\frac{\ln{n}}{n})$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Об аппроксимации числом вида p^n
Сообщение09.01.2016, 01:15 


01/11/14
195
fractalon, да я сформулировал еще один "похожий" вопрос. Спасибо за ответы.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group