Об аппроксимации числом вида p^n

[Iam]

Возникла задача, связанная с аппроксимацией числом вида $ p^n, p\in P$ (простое), $n\in N$ (натуральное). Просьба подсказать, встречались ли где-нибудь оценки точности такой аппроксимации. Вопрос формулируется так:
Пусть $ k_1(x)=\max \{p^n \le x | p \in P, n\in N \}$, $k_2(x)=\min \{p^n \ge x | | p \in P, n\in N\}.$
Какие значения принимают величины $k_1(\infty)=_{def} \lim \inf _ {x \to \infty} (k_1(x)/x) $ и $k_2(\infty)=_{def} \lim \sup _ {x \to \infty} (k_2(x)/x) = 1$?
И, наконец, верно ли, что $k_1(\infty)= k_2(\infty)= 1$ ?

[fractalon]

Функция распределения степеней простых отличается от простых на что-то порядка $\sqrt{x}$ (это просто $\pi(x)+\pi(x^\frac{1}{2})+\pi(x^\frac{1}{3})+\dots=\pi(x)+O(\sqrt{x})$).
Поэтому критично ничего не меняется, можно только остаточный член уточнять, да и то, кажется, несложно, если много знать про $\pi(x)$.
Да, ваши соотношения верны, потому что это, по сути, пределы $\frac{x+O(\ln{x})}{x}$ при $x \to \infty$

[Iam]

fractalon, спасибо.
Чтобы удостовериться в правильном понимании запишу в явном виде формулы для погрешностей такой аппроксимации:
$ \delta_1(x) = 1-k_1(x)/x$, $\delta^*_1(x) = \max_{x’ \le x} (x'-k_1(x’))/x$,
$ \delta_2(x) = k_2(x)/x-1$, $\delta^*_2(x) = \max_{x’ \le x} (k_1(x’)-x')/x$.
Далее мы получаем $\delta^*_i(x)=O(?)$?

[fractalon]

А вот тут вы, кажется, изменили задачу. Как я понимаю, ставить вопрос о максимальном интервале между степенями простых меньше данного - это, вообще говоря, не то же самое, что просто средняя длина между соседними (то есть функция распределения). Хотя интуитивно на первый взгляд кажется, что всё одинаково и тут будет $O(\frac{\ln{n}}{n})$.

[Iam]

fractalon, да я сформулировал еще один "похожий" вопрос. Спасибо за ответы.