Сонантометрия или алгебра музыкальной гармонии.

[commator]

commator в сообщении #1085564 писал(а):

$ \mathrm{N}_1_2\to\mathrm{N}_1_2\times \mathrm{N}_1\to\left\lbrace\begin{matrix} 12/1\\ 11/1\\ 10/1\\ 9/1\\ 8/1\\ 7/1\\ 6/1\\ 5/1\\ 4/1\\ 3/1\\ 2/1\\ 1/1 \end{matrix}\right\rbrace\to\left\lbrace\begin{matrix} ~~~~~\psi-a4\mathrm{:TTD\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~\Phi\alpha,\theta-g4\mathrm{:N\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ \iota\Delta,\theta-fis4\mathrm{:TM\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~~~~\theta-e4\mathrm{:DD\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~~\theta-d4\mathrm{:TTT\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~\rho\mathrm{A},\theta-c4\mathrm{:Q\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~~~\psi-a3\mathrm{:TD\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~\iota\Delta,\theta-fis3\mathrm{:M\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~~~~\theta-d3\mathrm{:TT\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~~~~~~\psi-a2\mathrm{:D\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~~~~~~\theta-d2\mathrm{:T\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~~~~~~\theta-d1\mathrm{:\varnothing\varnothing_\varnothing_\varnothing} \end{matrix}\right\rbrace $

Расширение

commator в сообщении #1086657 писал(а):

до икосады

$\mathrm{N_2_0}=\left\lbrace1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20\right\rbrace$

$ \mathrm{N}_1_2\to\mathrm{N}_2_0\times \mathrm{N}_1\to\left\lbrace\begin{matrix} 20/1\\ 19/1\\ 18/1\\ 17/1\\ 16/1\\ 15/1\\ 14/1\\ 13/1\\ 12/1\\ 11/1\\ 10/1\\ ~9/1\\ ~8/1\\ ~7/1\\ ~6/1\\ ~5/1\\ ~4/1\\ ~3/1\\ ~2/1\\ ~1/1 \end{matrix}\right\rbrace\to\left\lbrace\begin{matrix} \iota\Delta,\theta\text{-}fis5\mathrm{:TTM\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~~~~\text{B}o,\theta\text{-}f5\mathrm{:U\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~~~~\theta\text{-}e5\mathrm{:TDD\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~~\pi\varepsilon,\theta\text{-}dis5\mathrm{:P\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~~\theta\text{-}d5\mathrm{:TTTT\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~\iota\Delta,\theta\text{-}cis5\mathrm{:DM\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~\rho\text{A},\theta\text{-}c5\mathrm{:TQ\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~~~~\iota\rho,\theta\text{-}b4\mathrm{:R\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~~~~\text{џ-}a4\mathrm{:TTD\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~~~~\Phi\alpha,\theta\text{-}g4\mathrm{:N\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~\iota\Delta,\theta\text{-}fis4\mathrm{:TM\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~~~~~~~\theta\text{-}e4\mathrm{:DD\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~~~~~\theta\text{-}d4\mathrm{:TTT\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~~~~\rho\text{A},\theta\text{-}c4\mathrm{:Q\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~~~~~~ \text{џ-}a3\mathrm{:TD\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~ \iota\Delta,\theta\text{-}fis3\mathrm{:M\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~~~~~~~ \theta\text{-}d3\mathrm{:TT\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~~~~~~~~~ \text{џ-}a2\mathrm{:D\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~~~~~~~~~\theta\text{-}d2\mathrm{:T\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~~~~~~~~~\theta\text{-}d1\mathrm{:\varnothing\varnothing_\varnothing_\varnothing} \end{matrix}\right\rbrace $

[commator]

Внимание к

commator в сообщении #1087140 писал(а):

$ \left\lbrace\begin{matrix} \iota\Delta,\theta\text{-}fis5\mathrm{:TTM\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~~~~\text{B}o,\theta\text{-}f5\mathrm{:U\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~~~~\theta\text{-}e5\mathrm{:TDD\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~~\pi\varepsilon,\theta\text{-}dis5\mathrm{:P\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~~\theta\text{-}d5\mathrm{:TTTT\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~\iota\Delta,\theta\text{-}cis5\mathrm{:DM\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~\rho\text{A},\theta\text{-}c5\mathrm{:TQ\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~~~~\iota\rho,\theta\text{-}b4\mathrm{:R\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~~~~\text{џ-}a4\mathrm{:TTD\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~~~~\Phi\alpha,\theta\text{-}g4\mathrm{:N\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~\iota\Delta,\theta\text{-}fis4\mathrm{:TM\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~~~~~~~\theta\text{-}e4\mathrm{:DD\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~~~~~\theta\text{-}d4\mathrm{:TTT\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~~~~\rho\text{A},\theta\text{-}c4\mathrm{:Q\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~~~~~~ \text{џ-}a3\mathrm{:TD\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~ \iota\Delta,\theta\text{-}fis3\mathrm{:M\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~~~~~~~ \theta\text{-}d3\mathrm{:TT\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~~~~~~~~~ \text{џ-}a2\mathrm{:D\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~~~~~~~~~\theta\text{-}d2\mathrm{:T\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~~~~~~~~~\theta\text{-}d1\mathrm{:\varnothing\varnothing_\varnothing_\varnothing} \end{matrix}\right\rbrace $

даёт возможность заметить:

$ \left\lbrace\begin{matrix} \iota\Delta,\theta\text{-}fis5\mathrm{:TTM\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~~~~\text{B}o,\theta\text{-}f5\mathrm{:U\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~~~~\theta\text{-}e5\mathrm{:TDD\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~~\pi\varepsilon,\theta\text{-}dis5\mathrm{:P\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~~\theta\text{-}d5\mathrm{:TTTT\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~\iota\Delta,\theta\text{-}cis5\mathrm{:DM\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~\rho\text{A},\theta\text{-}c5\mathrm{:TQ\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~~~~\iota\rho,\theta\text{-}b4\mathrm{:R\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~~~~\text{џ-}a4\mathrm{:TTD\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~~~~\Phi\alpha,\theta\text{-}g4\mathrm{:N\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~\iota\Delta,\theta\text{-}fis4\mathrm{:TM\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~~~~~~~\theta\text{-}e4\mathrm{:DD\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~~~~~\theta\text{-}d4\mathrm{:TTT\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~~~~\rho\text{A},\theta\text{-}c4\mathrm{:Q\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~~~~~~ \text{џ-}a3\mathrm{:TD\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~ \iota\Delta,\theta\text{-}fis3\mathrm{:M\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~~~~~~~ \theta\text{-}d3\mathrm{:TT\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~~~~~~~~~ \text{џ-}a2\mathrm{:D\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~~~~~~~~~\theta\text{-}d2\mathrm{:T\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~~~~~~~~~\theta\text{-}d1\mathrm{:\varnothing\varnothing_\varnothing_\varnothing} \end{matrix}\right\rbrace = \left\lbrace\begin{matrix} ~~\theta\text{-}e5\mathrm{:TDD\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ \theta\text{-}d5\mathrm{:TTTT\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~\text{џ-}a4\mathrm{:TTD\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~\theta\text{-}e4\mathrm{:DD\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~\theta\text{-}d4\mathrm{:TTT\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~ \text{џ-}a3\mathrm{:TD\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~ \theta\text{-}d3\mathrm{:TT\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~~~ \text{џ-}a2\mathrm{:D\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~~~\theta\text{-}d2\mathrm{:T\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~~~\theta\text{-}d1\mathrm{:\varnothing\varnothing_\varnothing_\varnothing} \end{matrix}\right\rbrace\cup\left\lbrace\begin{matrix} \iota\Delta,\theta\text{-}fis5\mathrm{:TTM\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~\iota\Delta,\theta\text{-}cis5\mathrm{:DM\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~\iota\Delta,\theta\text{-}fis4\mathrm{:TM\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~ \iota\Delta,\theta\text{-}fis3\mathrm{:M\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ \end{matrix}\right\rbrace\cup $

$$ \cup\left\lbrace\begin{matrix} \rho\text{A},\theta\text{-}c5\mathrm{:TQ\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~\rho\text{A},\theta\text{-}c4\mathrm{:Q\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ \end{matrix}\right\rbrace\cup\left\lbrace\begin{matrix} ~~\text{B}o,\theta\text{-}f5\mathrm{:U\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ \pi\varepsilon,\theta\text{-}dis5\mathrm{:P\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~\iota\rho,\theta\text{-}b4\mathrm{:R\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~\Phi\alpha,\theta\text{-}g4\mathrm{:N\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ \end{matrix}\right\rbrace. $$

[commator]

Рассматривая лишь пифагорейскую категорию высот

commator в сообщении #1087321 писал(а):

$\left\lbrace\begin{matrix} ~~\theta\text{-}e5\mathrm{:TDD\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ \theta\text{-}d5\mathrm{:TTTT\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~\text{џ-}a4\mathrm{:TTD\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~\theta\text{-}e4\mathrm{:DD\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~\theta\text{-}d4\mathrm{:TTT\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~ \text{џ-}a3\mathrm{:TD\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~ \theta\text{-}d3\mathrm{:TT\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~~~ \text{џ-}a2\mathrm{:D\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~~~\theta\text{-}d2\mathrm{:T\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~~~\theta\text{-}d1\mathrm{:\varnothing\varnothing_\varnothing_\varnothing} \end{matrix}\right\rbrace $

как подкатегорию <имя ноты>:θCPε:<имя сонанта> (Πυθαγόρεια Cathegory of Pitches of είκοσαδα), выделенную из полной категории высот <имя ноты>:CPε:<имя сонанта> от полного со́звука икосады <имя ноты>:CPε:<имя сонанта> ← Kε (Klang είκοσαδα), можно записать:

$ \mathrm{K\varepsilon}\to\theta\text{-}d1\mathrm{:CP\varepsilon:\varnothing_\varnothing} \supset \theta\text{-}d1\mathrm{:\theta CP}\varepsilon\mathrm{:\varnothing_\varnothing} =\left\lbrace\begin{matrix} ~~\theta\text{-}e5\mathrm{:TDD\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ \theta\text{-}d5\mathrm{:TTTT\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~\text{џ-}a4\mathrm{:TTD\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~\theta\text{-}e4\mathrm{:DD\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~\theta\text{-}d4\mathrm{:TTT\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~ \text{џ-}a3\mathrm{:TD\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~ \theta\text{-}d3\mathrm{:TT\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~~~ \text{џ-}a2\mathrm{:D\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~~~\theta\text{-}d2\mathrm{:T\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~~~\theta\text{-}d1\mathrm{:\varnothing\varnothing_\varnothing_\varnothing} \end{matrix}\right\rbrace= $

$$ =\left\lbrace\begin{matrix} \theta\text{-}d5\mathrm{:TTTT\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~\theta\text{-}d4\mathrm{:TTT\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~ \theta\text{-}d3\mathrm{:TT\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~~~\theta\text{-}d2\mathrm{:T\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~~~\theta\text{-}d1\mathrm{:\varnothing\varnothing_\varnothing_\varnothing} \end{matrix}\right\rbrace\cup\left\lbrace\begin{matrix} \text{џ-}a4\mathrm{:TTD\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~ \text{џ-}a3\mathrm{:TD\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~ \text{џ-}a2\mathrm{:D\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ \end{matrix}\right\rbrace\cup\left\lbrace\begin{matrix} \theta\text{-}e5\mathrm{:TDD\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~\theta\text{-}e4\mathrm{:DD\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ \end{matrix}\right\rbrace= $$

$$ =\left\lbrace\begin{matrix} \theta\text{-}d5\mathrm{:TTTT\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~\theta\text{-}d4\mathrm{:TTT\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~ \theta\text{-}d3\mathrm{:TT\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~~~\theta\text{-}d2\mathrm{:T\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~~~\theta\text{-}d1\mathrm{:\varnothing\varnothing_\varnothing_\varnothing} \end{matrix}\right\rbrace\cup\left\lbrace\begin{matrix} \text{џ-}a4\mathrm{:TTD_\varnothing_\varnothing}\\ ~~ \text{џ-}a3\mathrm{:TD_\varnothing_\varnothing}\\ ~~ \text{џ-}a2\mathrm{:\varnothing D_\varnothing_\varnothing}\\ \end{matrix}\right\rbrace\cup\left\lbrace\begin{matrix} \theta\text{-}e5\mathrm{:TDD_\varnothing_\varnothing}\\ \theta\text{-}e4\mathrm{:\varnothing DD_\varnothing_\varnothing}\\ \end{matrix}\right\rbrace= $$

$$ =\theta\text{-}d1\mathrm{:PC}\varepsilon\mathrm{:\varnothing_\varnothing} \cup\text{џ-}a2\text{:џ}\mathrm{PC}\tau\mathrm{:D_\varnothing} \cup\theta\text{-}e4\mathrm{:PC}\zeta\mathrm{:2D_\varnothing_}; $$

где

• <имя ноты>:PCε:<имя сонанта> (Pitch Class είκοσαδα) ― фрагмент высотного класса от основы икосады и в её пределах,
• <имя ноты>:џPCτ:<имя сонанта> (џ means fork Pitch Class τετράδα) ― фрагмент камертонного высотного класса [1] от основы тетрады и в её пределах,
• <имя ноты>:PCζ:<имя сонанта> (Pitch Class ζεύγος) ― фрагмент высотного класса от основы пары и в её пределах.

[1]

commator в сообщении #1084750 писал(а):

Ноты камертонного высотного класса <...> предписывают высоты из цепи чётких чистых октав с настроенной по камертону ля-первой-октавы и обозначены <...> похожей на камертон кириллической џ

[commator]

commator в сообщении #1087321 писал(а):

Внимание к

<...>

$\left\lbrace\begin{matrix} \iota\Delta,\theta\text{-}fis5\mathrm{:TTM\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~\iota\Delta,\theta\text{-}cis5\mathrm{:DM\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~\iota\Delta,\theta\text{-}fis4\mathrm{:TM\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~ \iota\Delta,\theta\text{-}fis3\mathrm{:M\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ \end{matrix}\right\rbrace$

обнаруживает дидимейскую категорию высот ιΔ,θ-fis3:ιΔ,θCPε:Øø

commator в сообщении #1087436 писал(а):

как подкатегорию <...>, выделенную из полной категории высот <...> от полного со́звука икосады <...> Kε

$\mathrm{K\varepsilon:[1/1]}\to\theta\text{-}d1\mathrm{:CP\varepsilon:\varnothing_\varnothing} \supset \iota\Delta,\theta\text{-}fis3\mathrm{:CP}\varepsilon\mathrm{:\varnothing_\varnothing} =\left\lbrace\begin{matrix} \iota\Delta,\theta\text{-}fis5\mathrm{:TTM\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~\iota\Delta,\theta\text{-}cis5\mathrm{:DM\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~\iota\Delta,\theta\text{-}fis4\mathrm{:TM\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~ \iota\Delta,\theta\text{-}fis3\mathrm{:M\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ \end{matrix}\right\rbrace=$

$$=\left\lbrace\begin{matrix} \iota\Delta,\theta\text{-}fis5\mathrm{:TTM_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~\iota\Delta,\theta\text{-}cis5\mathrm{:DM_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~\iota\Delta,\theta\text{-}fis4\mathrm{:TM_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~ \iota\Delta,\theta\text{-}fis3\mathrm{:\varnothing M_\varnothing_\varnothing}\\ \end{matrix}\right\rbrace =\iota\Delta,\theta\text{-}fis3\mathrm{:CP}\tau\mathrm{:M_\varnothing}\leftarrow\mathrm{K\tau:[5/1]}.$$

Получается полная категория высот (которые ниже пифагорейских на дидимейскую комму) тетрады ιΔ,θ-fis3:CPτ:Mø от полного со́звука Kτ:[5/1], выделенного из взятого за исходный полного со́звука икосады Kε:[1/1].

[Свободный Художник]

commator в сообщении #1086960 писал(а):

Свободный Художник в сообщении #1086891 писал(а):

Отметим, что группоиды Брандта $\mathbf{R_n}$ являются замкнутыми не только относительно частичной бинарной группоидной операции "составления" упорядоченных пар натуральных чисел, но и относительно всюду определенной операции $N$ "обращения"

Можно ли это продемонстрировать подробно до очевидности?

По-моему, все и так предельно очевидно. По определению множества-носителя $\mathrm{R_k}$ группоида Брандта $\mathbf{R_k}$:
http://www.px-pict.com/9/6/8/2/2/4.html
(пункт 2 на указанной странице)
Из этого определения следует, что если упорядоченная пара $<m, n>$ натуральных чисел принадлежит множеству $\mathrm{R_k}$, то и упорядоченная пара $<n, m>$ натуральных чисел тоже принадлежит этому множеству. Определение операции $N$ "обращения" на множестве упорядоченных пар натуральных чисел (среди прочих других операций и отношений, тоже представляющих интерес), было приведено здесь:
http://www.px-pict.com/9/6/8/2/2/3.html

-- Сб янв 02, 2016 23:25:14 --

Поскольку группоидная операция группоида Брандта $\mathbf{R_n}$ (операция "составления" упорядоченных пар натуральных чисел) является частичной, а не всюду определенной бинарной операцией, то нам будет удобно озаботиться еще введением для нее соответствующего "отношения пресуппозиции" -- некоторого бинарного отношения "составимости" упорядоченных пар натуральных чисел. По аналогии с тем, как это было сделано здесь для других частичных бинарных операций:
http://www.px-pict.com/9/6/4/5/1/1.html

Весьма полезным промежуточным шагом в этом направлении может стать расмотрение конструкций, связанных с деревом Калкина - Вилфа:
http://www.px-pict.com/9/6/6/7/3.html
Например, соседние пары дробей (которые мы можем расматривать как упорядоченные пары натуральных чисел) в предложенной ими последовательности рациональных чисел находятся как раз в нужном нам отношении "составимости".

-- Сб янв 02, 2016 23:40:59 --

Дерево Калкина-Вилфа нами уже упоминалось в теме о двойственности:

Свободный Художник в сообщении #175353 писал(а):

Вообще, с деревьями хорошо бы не запутаться.
Например, в “Конкретной математике”:
Грэхем Р., Кнут Д., Паташник О.
Конкретная математика. Основание информатики, М., Мир, 1998
на с. 141 в качестве Stern-Brocot Tree приведено то же самое дерево, что и по ссылкам:
http://mathworld.wolfram.com/Stern-BrocotTree.html
http://www.cut-the-knot.org/blue/Stern.shtml
http://en.wikipedia.org/wiki/Stern-Brocot_tree

Тогда как у М. Айгнер, Г. Циглер. Доказательства из Книги. Лучшие доказательства со времен Евклида до наших дней, на с. 106 в контексте обсуждения одной работы Мориса Абрахама Штерна приведено уже другое дерево.
Понятно, что оба эти дерева (в “Конкретной математике” и у Айгнера) тесно связаны друг с другом, но все же это – разные деревья.
Чтобы различать их, я предлагаю называть то дерево, что у Айгнера – “поверхностным”, поскольку оно самым непосредственным образом индуцируется операторами $V$ и $H$

juna в сообщении #178541 писал(а):

Для дерева из Айгнера есть название Calkin-Wilf Tree

[commator]

Свободный Художник в сообщении #1087639 писал(а):

По-моему, все и так предельно очевидно. По определению множества-носителя $\mathrm{R_k}$ группоида Брандта $\mathbf{R_k}$: http://www.px-pict.com/9/6/8/2/2/4.html
(пункт 2 на указанной странице)
Из этого определения следует, что если упорядоченная пара $<m, n>$ натуральных чисел принадлежит множеству $\mathrm{R_k}$, то и упорядоченная пара $<n, m>$ натуральных чисел тоже принадлежит этому множеству. Определение операции $N$ "обращения" на множестве упорядоченных пар натуральных чисел (среди прочих других операций и отношений, тоже представляющих интерес), было приведено здесь: http://www.px-pict.com/9/6/8/2/2/3.html

Может быть мне хочется слишком буквально понимать слово очевидно, но должно же оно отличаться от слова умозрительно.

А если так, и я правильно понял Ваше умозрение, то его с очевидностью должно демонстрировать выражение:

commator в сообщении #1084610 писал(а):

Перекладка нисходящей унтеральной ска́лы для получения восходящей:

$\left\{ \begin{matrix} \mathrm{:2T}\varnothing_\varnothing_\varnothing& & & \\ ~\mathrm{:D}\varnothing_\varnothing_\varnothing & & & \\ ~\mathrm{:T}\varnothing_\varnothing_\varnothing &\mathrm{:2T}\varnothing\mathrm{t}_\varnothing& & \\ &~\mathrm{:D}\varnothing\mathrm{t}_\varnothing & & \\ & &\mathrm{:2T}\varnothing\mathrm{d}_\varnothing& \\ ~:\varnothing\varnothing_\varnothing_\varnothing &~\mathrm{:T}\varnothing\mathrm{t}_\varnothing &~\mathrm{:D}\varnothing\mathrm{d}_\varnothing&\mathrm{:2T}\varnothing\mathrm{2t}_\varnothing\\ & & &~\mathrm{:D}\varnothing\mathrm{2t}_\varnothing\\ & &~\mathrm{:T}\varnothing\mathrm{d}_\varnothing& \\ &~:\varnothing\varnothing\mathrm{t}_\varnothing & &~\mathrm{:T}\varnothing\mathrm{2t}_\varnothing\\ & &~:\varnothing\varnothing\mathrm{d}_\varnothing& \\ & & &~:\varnothing\varnothing\mathrm{2t}_\varnothing \end{matrix} \right\}\to\left\{ \begin{matrix} & & &\mathrm{:2T}\varnothing_\varnothing_\varnothing~\\ &&\mathrm{:D}\varnothing_\varnothing_\varnothing~& \\ &\mathrm{:T}\varnothing_\varnothing_\varnothing~ & &\mathrm{:2T}\varnothing\mathrm{t}_\varnothing~\\ & &\mathrm{:D}\varnothing\mathrm{t}_\varnothing~~& \\ & & &\mathrm{:2T}\varnothing\mathrm{d}_\varnothing~ \\ :\varnothing\varnothing_\varnothing_\varnothing~&\mathrm{:T}\varnothing\mathrm{t}_\varnothing~ &\mathrm{:D}\varnothing\mathrm{d}_\varnothing~&\mathrm{:2T}\varnothing\mathrm{2t}_\varnothing\\ & &\mathrm{:D}\varnothing\mathrm{2t}_\varnothing &\\ &\mathrm{:T}\varnothing\mathrm{d}_\varnothing~ && \\ :\varnothing\varnothing\mathrm{t}_\varnothing~&\mathrm{:T}\varnothing\mathrm{2t}_\varnothing & &\\ :\varnothing\varnothing\mathrm{d}_\varnothing~& & & \\ :\varnothing\varnothing\mathrm{2t}\varnothing& & & \end{matrix} \right\}$

Очевидно:

1. По вертикалям нисходящей унтеральной ска́лы равны правые (субсонантные) части, а по вертикалям нисходящей — левые (сонантные).
2. У вертикалей нисходящей унтеральной ска́лы одинаковы левые (сонантные) наборы частей, а у вертикалей нисходящей — правые (субсонантные).

Вы согласны?

[commator]

Попалась красивая картинка в полезной статье:

Deutsch & Födermayr 1998 писал(а):

Биения: Слева направо: элементарный тон 220 Гц, элементарный тон 227 Гц, двухтоновое сочетание 220 Гц + 227 Гц с биением, двухтоновое сочетание 220 Гц + 240 Гц (слабая шероховатость), двухтоновое сочетание 220 + 260 Гц (шероховатость), двухтоновое сочетание (музыкальная квинта).

(English)

Beats: From left to right: simple tone 220 Hz, simple tone 227 Hz, two tone complex 220 Hz + 227 Hz with beating, two tone complex 220 Hz + 240 Hz (light roughness), two tone complex 220 + 260 Hz (roughness), two tone complex (musical fifth).

[Свободный Художник]

commator в сообщении #1087666 писал(а):

Может быть мне хочется слишком буквально понимать слово очевидно, но должно же оно отличаться от слова умозрительно.
А если так, и я правильно понял Ваше умозрение...

Это никоем образом не умозрение. Прочитайте определения рационального и иррационального музыкального интервала у Д. Райта:
http://www.px-pict.com/9/6/8/2/1/1/1/1/11.html
Системы положительных рациональных и вещественных чисел, к которым он апелирует в этих определениях, не существуют без задания на их множествах-носителях определенных операций и отношений с определенными свойствами.

Свободный Художник в сообщении #1030997 писал(а):

Даже Филолай мыслит в терминах операции умножения числовых отношений:
http://www.chrysalis-foundation.org/Phi ... Euclid.htm
(на указанной странице: Part IV: Philolaus, Euclid, Aristoxenus, and Ptolemy, Section 10.10)
А где эта операция у Вас?
Если Вы пытаетесь построить некую "алгебру музыкальной гармонии", то было бы логично, если бы Вы использовали в ней какие-нибудь понятия и конструкции из этой самой алгебры.

-- Вс янв 03, 2016 16:15:06 --

Свободный Художник в сообщении #1087639 писал(а):

Поскольку группоидная операция группоида Брандта $\mathbf{R_n}$ (операция "составления" упорядоченных пар натуральных чисел) является частичной, а не всюду определенной бинарной операцией, то нам будет удобно озаботиться еще введением для нее соответствующего "отношения пресуппозиции" -- некоторого бинарного отношения "составимости" упорядоченных пар натуральных чисел...
Весьма полезным промежуточным шагом в этом направлении может стать расмотрение конструкций, связанных с деревом Калкина - Вилфа:
http://www.px-pict.com/9/6/6/7/3.html

Ветвление в дереве Калкина-Вилфа можно записать с помощью двух дуальных друг по отношению к другу выражений: $(x \circ 1)$ и $(x \bullet 1)$.

Свободный Художник в сообщении #144875 писал(а):

Жаль, конечно, идемпотентные и дистрибутивные законы. Тем не менее, у системы $\mathbf{Q^+}$ есть и свои эксклюзивные “фичи”, делающие ее в каком-то смысле даже более интересной системой, чем булевы алгебры.

Например, для $\mathbf{Q^+}$ являются справедливыми, очевидно, следующие два утверждения:
(1) Существует элемент, удовлетворяющий условию $\overline{x} = x$;
(2) Такой элемент единственен.

Положив этому элементу естественное имя 1, мы можем определить две двойственные друг по отношению к другу унарные операции: $H(x) = x \bullet 1$ и $V(x) = x \circ 1$.

[commator]

Свободный Художник в сообщении #1087754 писал(а):

Это никоем образом не умозрение.

И где очевидность, чтобы очам видно было, какие операции что замыкают, а что нет?

Вам обычно нравится посылать туда, где приходится тяжко умом зрить как найти пользу. Оно полезно, конечно, но ум норовит отложить на потом всё такое.

[commator]

commator в сообщении #1087140 писал(а):

$ \left\lbrace\begin{matrix} \iota\Delta,\theta\text{-}fis5\mathrm{:TTM\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~~~~\text{B}o,\theta\text{-}f5\mathrm{:U\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~~~~\theta\text{-}e5\mathrm{:TDD\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~~\pi\varepsilon,\theta\text{-}dis5\mathrm{:P\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~~\theta\text{-}d5\mathrm{:TTTT\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~\iota\Delta,\theta\text{-}cis5\mathrm{:DM\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~\rho\text{A},\theta\text{-}c5\mathrm{:TQ\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~~~~\iota\rho,\theta\text{-}b4\mathrm{:R\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~~~~\text{џ-}a4\mathrm{:TTD\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~~~~\Phi\alpha,\theta\text{-}g4\mathrm{:N\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~\iota\Delta,\theta\text{-}fis4\mathrm{:TM\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~~~~~~~\theta\text{-}e4\mathrm{:DD\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~~~~~\theta\text{-}d4\mathrm{:TTT\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~~~~\rho\text{A},\theta\text{-}c4\mathrm{:Q\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~~~~~~ \text{џ-}a3\mathrm{:TD\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~ \iota\Delta,\theta\text{-}fis3\mathrm{:M\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~~~~~~~ \theta\text{-}d3\mathrm{:TT\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~~~~~~~~~ \text{џ-}a2\mathrm{:D\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~~~~~~~~~\theta\text{-}d2\mathrm{:T\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~~~~~~~~~\theta\text{-}d1\mathrm{:\varnothing\varnothing_\varnothing_\varnothing} \end{matrix}\right\rbrace $

полезно и так понимать:

$ \left\lbrace\begin{matrix} \iota\Delta,\theta\text{-}fis5\mathrm{:TTM\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~~~~\text{B}o,\theta\text{-}f5\mathrm{:U\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~~~~\theta\text{-}e5\mathrm{:TDD\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~~\pi\varepsilon,\theta\text{-}dis5\mathrm{:P\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~~\theta\text{-}d5\mathrm{:TTTT\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~\iota\Delta,\theta\text{-}cis5\mathrm{:DM\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~\rho\text{A},\theta\text{-}c5\mathrm{:TQ\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~~~~\iota\rho,\theta\text{-}b4\mathrm{:R\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~~~~\text{џ-}a4\mathrm{:TTD\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~~~~\Phi\alpha,\theta\text{-}g4\mathrm{:N\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~\iota\Delta,\theta\text{-}fis4\mathrm{:TM\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~~~~~~~\theta\text{-}e4\mathrm{:DD\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~~~~~\theta\text{-}d4\mathrm{:TTT\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~~~~\rho\text{A},\theta\text{-}c4\mathrm{:Q\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~~~~~~ \text{џ-}a3\mathrm{:TD\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~ \iota\Delta,\theta\text{-}fis3\mathrm{:M\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~~~~~~~ \theta\text{-}d3\mathrm{:TT\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~~~~~~~~~ \text{џ-}a2\mathrm{:D\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~~~~~~~~~\theta\text{-}d2\mathrm{:T\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~~~~~~~~~\theta\text{-}d1\mathrm{:\varnothing\varnothing_\varnothing_\varnothing} \end{matrix}\right\rbrace = \left\lbrace\begin{matrix} ~~~~~\text{B}o,\theta\text{-}f5\mathrm{:U\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~\pi\varepsilon,\theta\text{-}dis5\mathrm{:P\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ \iota\Delta,\theta\text{-}cis5\mathrm{:DM\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~~~\iota\rho,\theta\text{-}b4\mathrm{:R\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~\Phi\alpha,\theta\text{-}g4\mathrm{:N\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~~~~\theta\text{-}e4\mathrm{:DD\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~\rho\text{A},\theta\text{-}c4\mathrm{:Q\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~ \iota\Delta,\theta\text{-}fis3\mathrm{:M\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~~~~~~ \text{џ-}a2\mathrm{:D\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~~~~~~\theta\text{-}d1\mathrm{:\varnothing\varnothing_\varnothing_\varnothing} \end{matrix}\right\rbrace\cup\left\lbrace\begin{matrix} \iota\Delta,\theta\text{-}fis5\mathrm{:TTM\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~~~~\theta\text{-}e5\mathrm{:TDD\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~~\theta\text{-}d5\mathrm{:TTTT\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~\rho\text{A},\theta\text{-}c5\mathrm{:TQ\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~~~~\text{џ-}a4\mathrm{:TTD\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~\iota\Delta,\theta\text{-}fis4\mathrm{:TM\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~~~~~\theta\text{-}d4\mathrm{:TTT\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~~~~~~ \text{џ-}a3\mathrm{:TD\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~~~~~~~ \theta\text{-}d3\mathrm{:TT\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~~~~~~~~~\theta\text{-}d2\mathrm{:T\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ \end{matrix}\right\rbrace. $

[Свободный Художник]

commator в сообщении #1087806 писал(а):

Свободный Художник в сообщении #1087754 писал(а):

Это никоем образом не умозрение.

И где очевидность, чтобы очам видно было, какие операции что замыкают, а что нет?
Вам обычно нравится посылать туда, где приходится тяжко умом зрить как найти пользу. Оно полезно, конечно, но ум норовит отложить на потом всё такое.

На интуитивном уровне (и в теоретико-музыкальном контексте) о "замкнутости" тетрады написано у Щетникова:
http://www.px-pict.com/7/3/2/1/9/2/6.html
Группоид Брандта $\mathbf{R_4}$ уточняет эту идею:

Свободный Художник в сообщении #1085213 писал(а):

Я хотел бы попытаться выразить кое-что из того, что Вы пишите, в терминах группоидов Брандта. Отметим, что тетрада связывалась как с числами 1, 2, 3, 4, так и с числами 6, 8, 9, 12:
http://www.px-pict.com/7/3/2/1/4/4.html

Можно начать с чисел 1, 2, 3, 4. Этому случаю соответствует уже обсуждавшийся выше группоид Брандта $\mathbf{R_4}$. Потом его можно расширить, чтобы включить в рассмотрение также числа 6, 8, 9, 12. Пока что я несколько по иному перерисовал таблицу Кэли для группоида $\mathbf{R_4}$:
http://www.px-pict.com/9/6/8/2/2/4.html
(пункт 3а на указанной странице)
От перестановки строк и/или столбцов таблицы Кэли ее смысл не меняется, но при удачной перестановке могут быть боле ясно видны скрытые в ней закономерности.
Группоиды Брандта не являются такими уж тривиальными алгебраическими системами, как это может показаться на первый взгляд. Ибо, как пишут, например, Клиффорд - Престон, "эта система удовлетворяет некоторым довольно сильным аксиомам". Из которых можно попытаться поизвлекать разные интересные следствия (раз эти аксиомы "сильные").
http://www.px-pict.com/9/5/2/7/1/3.html

В этой связи может быть полезной книга: Сушкевич А. Теория обобщенных групп. Харьков - Киев: ОНТИ, 1937,
на которую ссылаются упомянутые Клиффорд - Престон и которую можно взять здесь:
http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/mat ... lgebra.htm

Замкнутость относительно частичной бинарной операции $\otimes$ группоида Брандта тесно связана с построением "транзитивного замыкания" бинарного отношения на некотором множестве:
https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D1 ... 0%B8%D0%B5

-- Ср янв 06, 2016 23:35:35 --

commator в сообщении #1087806 писал(а):

Вам обычно нравится посылать туда, где приходится тяжко умом зрить как найти пользу. Оно полезно, конечно, но ум норовит отложить на потом всё такое.

Не Вы ли постоянно отсылаете к абелевым группам ЧИП3 и ЧИП5 (в Вашей классификации)? Какая от них есть практическая польза? Если же такая польза все-таки есть, то хотелось бы видеть эти абстрактные математические конструкции как естественным образом развившееся из чего-то, а не выпрыгнувшие неожиданно из ниоткуда.

Свободный Художник в сообщении #1030997 писал(а):

Если Вы пытаетесь построить некую "алгебру музыкальной гармонии", то было бы логично, если бы Вы использовали в ней какие-нибудь понятия и конструкции из этой самой алгебры. Например, группоид Брандта, о котором я писал, есть, как раз-то, вполне определенная алгебраическая система.

Свободный Художник в сообщении #1029182 писал(а):

Непонятно даже, каким образом определить в приведенных Вами представлениях "гармонической сети" операцию группоида Брандта:

Причем это такая алгебраическая система, которая относится именно к делу (построения некоей "алгебры музыкальной гармонии"). К делу она относится потому, что при помощи стандартных алгебраических конструкций, кратко обрисованных, например, у А. Г. Куроша:
http://www.px-pict.com/9/5/3/3/1/3.html
мы можем определить абелеву группу, изоморфную абелевой группе всех рациональных чисел относительно операции умножения, как фактор-полугруппу полугруппы Брандта по очевидной конгруэнции.
И далее определить интересующие Вас ЧИПы разнообразных пределов как подгруппы этой группы.
Тогда появление ЧИПов будет естественным, они не будут просто выскакивать из ниоткуда, как чертики из табакерки.

-- Ср янв 06, 2016 23:51:05 --

Чтобы держаться ближе к теоретико-музыкальному контексту, вот какой совет дает Б. Л. ван дер Варден: "Попробуйте оживить их арифметику":
http://www.px-pict.com/7/3/2/1/4/1.html
Поэтому нам будет выгоднее эволюционно развить мультипликативную абелеву группу положительных рациональных чисел, держась ближе к совокупности идей со страницы:
http://www.px-pict.com/7/4/2/2.html
а не так, как это сделано "с современой точки зрения" у А. Г. Куроша:
http://www.px-pict.com/9/5/3/3/2/5/2.html

[commator]

Свободный Художник в сообщении #1088582 писал(а):

Не Вы ли постоянно отсылаете к абелевым группам ЧИП3 и ЧИП5 (в Вашей классификации)? Какая от них есть практическая польза? Если же такая польза все-таки есть, то хотелось бы видеть эти абстрактные математические конструкции как естественным образом развившееся из чего-то, а не выпрыгнувшие неожиданно из ниоткуда.

Вы смогли бы оценить упомянутую пользу, если бы предметом Вашего интереса был анализ музыкальных партитур с целью выявления способов исполнения записанных там пьес, которые могут соответствовать названию чёткая интонация (Just Intonation).

По-хорошему

ЧИП$3,$ЧИП$5, $ЧИП$7, ... $ЧИП$p~(p$ есть простое число) ― не моя классификация. У Парча, как будто, она гораздо более явная, чем у Эйлера, хотя и у последнего всё необходимое достаточно очевидно изложено.

У Парча же ещё на одну классификацию есть указание:

ЧИП$3,$ЧИП$5, $ЧИП$7, ... $ЧИП$i~(i$ есть нечётное [лат. impari] число).

Cмысл ЧИП$i$: каждое нечётное $i$ требует добавки высотного класса с другим именем.
Cмысл ЧИП$p$: каждое простое $p$ требует добавки простого сонанта с другим именем.

Вот о сонантах, похоже, никто до меня не упоминал, как о сущностях многоуровневой логики высотных ощущений, но близко к ним в таком смысле подошли все, кто пользуется ладовыми и тональными функциями для осознания логики музыкальных пьес.

По сонантам, когда они допустимым образом приписаны каждой ноте исследуемой пьесы, можно выяснять тональные функции вертикалей и какую логику горизонтального движения они поддерживают, что и даёт право вносить необходимые энгармонические изменения к обычным $12$РДО высотам, доводящие исполнение пьесы до чёткого интонирования ЧИП$p\subseteq $ЧИП$i\subseteq $ЧИП$n$ подходящих пределов, простого, нечётного и натурального.

[Свободный Художник]

commator в сообщении #1088675 писал(а):

Свободный Художник в сообщении #1088582 писал(а):

Не Вы ли постоянно отсылаете к абелевым группам ЧИП3 и ЧИП5 (в Вашей классификации)? Какая от них есть практическая польза? Если же такая польза все-таки есть, то хотелось бы видеть эти абстрактные математические конструкции как естественным образом развившееся из чего-то, а не выпрыгнувшие неожиданно из ниоткуда.

Вы смогли бы оценить упомянутую пользу, если бы предметом Вашего интереса был анализ музыкальных партитур с целью выявления способов исполнения записанных там пьес, которые могут соответствовать названию чёткая интонация (Just Intonation).

Именно это предметом моего интереса и было (если Вы помните):
http://www.forumklassika.ru/showthread. ... 28&page=21
Тогда мне и захотелось оформить в связном виде относящуюся сюда математическую часть.

-- Чт янв 07, 2016 23:42:15 --

Сделав при этом основную ставку на определенным образом понятый "гармонический дуализм":

Свободный Художник в сообщении #1078702 писал(а):

Главное, что такой подход к гармоническому дуализму позволит избежать (при должном его развитии, я надеюсь) той критики, которой подвергается гармонический дуализм Римана. См., например, статью Tara Tachovsky."Hugo Riemann's Concept of Tonality" (2007), на которую ссылаются здесь:
http://www.forumklassika.ru/showthread. ... 174&page=5
(постинг 47 на указанной странице)

Свободный Художник в сообщении #1046623 писал(а):

Хотелось бы несколько по иному оформить "гармонический дуализм" Царлино, о котором пишут Холопов и Поспелова в своей статье:
http://www.kholopov.ru/khol-posp-zarlino.pdf
(стр. 42 - 43; стр. 13 - 14 pdf-документа)

Взяв за основу наличие феномена двойственности в системе положительных рациональных чисел.

[commator]

commator в сообщении #1088675 писал(а):

если бы предметом Вашего интереса был анализ музыкальных партитур

Свободный Художник в сообщении #1088820 писал(а):

Именно это предметом моего интереса и было (если Вы помните): http://www.forumklassika.ru/showthread. ... 28&page=21

Тогда удивительно, что Вы сразу не увидели практической пользы того, что мне необходимо потребовалось для детемперации сразу после того, как я начал её практиковать с доступным мне постоянством.

До этого были какие-то смутные соображения, которые за пару недель практики стали гораздо отчётливее, а за последующие 10 лет по сути не поменялись, хотя и обросли некоторыми деталями, в которых сначала не было нужды.

Хотя удивительного и быть не может.

Сколько лет с Вами идёт обсуждение, столько лет нет ощущения, что Вас музыкальная сторона захватывает больше математической. У меня наооборот. Может быть поэтому наше собеседование длится не первый год.

[commator]

commator в сообщении #1087955 писал(а):

полезно и так понимать:

$ \left\lbrace\begin{matrix} ~~~~~\text{B}o,\theta\text{-}f5\mathrm{:U\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~\pi\varepsilon,\theta\text{-}dis5\mathrm{:P\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ \iota\Delta,\theta\text{-}cis5\mathrm{:DM\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~~~\iota\rho,\theta\text{-}b4\mathrm{:R\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~\Phi\alpha,\theta\text{-}g4\mathrm{:N\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~~~~\theta\text{-}e4\mathrm{:DD\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~\rho\text{A},\theta\text{-}c4\mathrm{:Q\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~ \iota\Delta,\theta\text{-}fis3\mathrm{:M\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~~~~~~ \text{џ-}a2\mathrm{:D\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~~~~~~\theta\text{-}d1\mathrm{:\varnothing\varnothing_\varnothing_\varnothing} \end{matrix}\right\rbrace\cup\left\lbrace\begin{matrix} \iota\Delta,\theta\text{-}fis5\mathrm{:TTM\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~~~~\theta\text{-}e5\mathrm{:TDD\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~~\theta\text{-}d5\mathrm{:TTTT\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~\rho\text{A},\theta\text{-}c5\mathrm{:TQ\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~~~~\text{џ-}a4\mathrm{:TTD\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~\iota\Delta,\theta\text{-}fis4\mathrm{:TM\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~~~~~\theta\text{-}d4\mathrm{:TTT\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~~~~~~ \text{џ-}a3\mathrm{:TD\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~~~~~~~ \theta\text{-}d3\mathrm{:TT\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~~~~~~~~~\theta\text{-}d2\mathrm{:T\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ \end{matrix}\right\rbrace. $

Выражая одной строчкой:

0.29(3)kHz:K$\varepsilon$:[1/1] $ \to\theta$-$d1$:iCP$\varepsilon$:$\varnothing_\varnothing \cup\theta$-$d2$:eCP$\varepsilon$:\varnothing_\varnothing.~~~~~~(1)

Иначе говоря: 0.29(3)kHz:K$\varepsilon$:[1/1] отображается на $\theta$-$d1$:iCP$\varepsilon$:$\varnothing_\varnothing$ в объединении с $\theta$-$d2$:eCP$\varepsilon$:\varnothing_\varnothing,

где

• 0.29(3)kHz:K$\varepsilon$:[1/1] ― стимул 0.29(3)kHz как полный со́звук икосады как 1/1;
• $\theta$-$d1$:iCP$\varepsilon$:$\varnothing_\varnothing$ ― пифагорейская-ре-первой-октавы как нечётная (лат. impari) категория высот от икосады как оригинант суборигинанта;
• $\theta$-$d2$:eCP$\varepsilon$:\varnothing_\varnothing ― пифагорейская-ре-второй-октавы как чётная (лат. etiam) категория высот от икосады как оригинант суборигинанта.

Обращая внимание, что

$\theta$-$d2$:eCP$\varepsilon$:\varnothing_\varnothing$ =\left\lbrace\begin{matrix} \iota\Delta,\theta\text{-}fis5\mathrm{:TTM\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~~~~\theta\text{-}e5\mathrm{:TDD\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~~\theta\text{-}d5\mathrm{:TTTT\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~\rho\text{A},\theta\text{-}c5\mathrm{:TQ\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~~~~\text{џ-}a4\mathrm{:TTD\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~\iota\Delta,\theta\text{-}fis4\mathrm{:TM\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~~~~~\theta\text{-}d4\mathrm{:TTT\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~~~~~~ \text{џ-}a3\mathrm{:TD\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~~~~~~~ \theta\text{-}d3\mathrm{:TT\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~~~~~~~~~\theta\text{-}d2\mathrm{:T\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ \end{matrix}\right\rbrace =\left\lbrace\begin{matrix} \iota\Delta,\theta\text{-}fis5\mathrm{:TMT_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~~~~\theta\text{-}e5\mathrm{:DDT_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~~\theta\text{-}d5\mathrm{:TTTT_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~\rho\text{A},\theta\text{-}c5\mathrm{:QT_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~~~~\text{џ-}a4\mathrm{:TDT_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~\iota\Delta,\theta\text{-}fis4\mathrm{:MT_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~~~~~\theta\text{-}d4\mathrm{:TTT_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~~~~~~ \text{џ-}a3\mathrm{:DT_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~~~~~~~ \theta\text{-}d3\mathrm{:TT_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~~~~~~~\theta\text{-}d2\mathrm{:\varnothing T_\varnothing_\varnothing}\\ \end{matrix}\right\rbrace=$

$=\theta$-$d2$:CP10:T_\varnothing,

где $=\theta$-$d2$:CP10:T_\varnothing ― пифагорейская-ре-второй-октавы как полная категория высот от декады как тонант суборигинанта, можно теперь переписать (1):

0.29(3)kHz:K$\varepsilon$:[1/1] $ \to\theta$-$d1$:iCP$\varepsilon$:$\varnothing_\varnothing \cup\theta$-$d2$:CP10:T_\varnothing.