Разбиение на пары, дающее степень

[Ktina]

Можно ли некоторую четвёрку подряд идущих натуральных чисел разбить на две пары так, чтобы сумма двух чисел - произведений чисел в этих парах, была точной степенью (квадратом, кубом, ...)?

(олимпиада Физтеха)

[gris]

Частный случай: разбиение на пару двух меньших и пару двух больших. Что получаем? Чётное число, а на четыре не делится. Ну какая тут степень?
Аналлогично с попарным разбиением на крайние и средние. Остался случай с через одного. Рассмотреть соответствующий многочлен?

[NSKuber]

С парами "меньшее+большее" и "два средних" то же самое.

[Ktina]

gris в сообщении #1088147 писал(а):

Остался случай с через одного. Рассмотреть соответствующий многочлен?

$$2x^2+2x-1$$

И?

[gris]

Олимпиада физтеховская, а у них ковыряться в натуральных числах считается неприличным.
Ну а так напрашивается сравнение по модулю $4$, и сразу отпадают квадраты и чётные степени. Все числа нечётные, то есть если степени, то нечётного числа. Можно предположить и единичку перенести.
Ещё вот такое соображение: если рассмотреть последовательно значения многочлена, то в ней мы увидим поразительно большое число простых чисел:
3 11 23 39 59 83 111 143 179 219 263 311 363 419 479 543 611 683 759 839 923 1011 1103
Простое число не может быль болшепервой натуральной степенью натурального числа, что уменьшает вероятность нахождения контрпримера для задачи.
Ну и совсем убойное: ни одно число последовательности не делится ни на один квадрат (исключения крайне редки: 363 или 1859).

[Ktina]

gris в сообщении #1088177 писал(а):

Олимпиада физтеховская, а у них ковыряться в натуральных числах считается неприличным.

(Оффтоп)

Не царское это дело, как в том самом анекдоте про Ивана-Царевича?

[vmg]

Пусть $n(n+2)=a$, $(n+1)(n+3)=b$. Тогда a и b разной четности и поэтому
$a+b$ и $ab+1$ нечетны. Кроме того, $ab+1$ квадрат. $(n^2+3n+1)^2$
Итак, $\left\{\begin{array}{rcl}ab+1=k^2\\a+b=m^2.\\\end{array}\right.$, где k и m нечетны.
Сложим: $(a+1)(b+1)=k^2+m^2$. Но $(a+1)(b+1)$ квадрат. $(n^2+3n+2)^2$.
Получим квадрат равен $k^2+m^2$, где k и m нечетны. Так не бывает (левая часть делится на 4, правая только на 2).

[Ktina]

vmg
Спасибо!

[Shadow]

Можно было и проще. $2x^2+2x-1=2x(x+1)-1\equiv -1 \pmod 4$ И квадратом быть не может