О роли наблюдателя в КМ

[g______d]

В цитируемом посте $a$ и $b$ не связаны с обозначениями из предыдущего поста.

[AlexDem]

AlexDem в сообщении #1072165 писал(а):

Что это означает для нас. В качестве системы $a$ возьмём $|S\rangle|z\rangle$ в данных выше обозначениях. Тогда $|S\rangle|z\rangle = F|S\rangle|x\rangle$, но вычислить этот оператор удаётся только тогда, когда $|\alpha\rangle$ пролетает без всякого взаимодействия с остальной частью рассматриваемой системы.

Поправка: пусть $F$ возвращает не первый сомножитель разложения вектора в тензорное произведение, когда оно существует, а всё, кроме последнего. Это ничего не поменяет, кроме того, что процитированное станет верным.

Итак. Оператор $F$. В классике он тоже вычислим не всегда: если система не рассеивает, а поглощает кванты из окружения, эти кванты могут прийти со случайной энергией, со случайного направления и т.п., тогда вычислить детерминированным образом $F$ мы тоже не можем. А в квантовой механике мы его не можем вычислить, даже если обладаем полной информацией о системе (знаем её вектор состояния) и она ничего не поглощает (не подвержена случайным возмущениям извне), а только рассеивает. То есть при любом взаимодействии отбрасываемой части $|\alpha\rangle$ сигнала с остальной частью этого сигнала или с системой итоговое состояние $U|S\rangle|x\rangle$ становится несепарабельным, а оператор $F$ - неопределённым. $F$ определён только в некоторых точках, там, где $|\alpha\rangle$ пролетела без взаимодействия и поведение системы можно описать каким-либо линейным оператором.

Возникает естественное желание доопределить оператор $F$ на несепарабельных состояниях. Но это потребовало бы пополнения пространства векторов состояния некими пра-векторами, которые бы выступали в качестве его значений на несепарабельных состояниях. А это, в свою очередь, вступает в конфликт с неравенствами Белла и соответствующими экспериментами.

Есть другой путь. Он был предложен здесь. А именно.

===

Предположим, что взаимодействие любых систем происходит путём обмена посредником. Будем полагать, что до взаимодействия система и посредник составляют одно целое, а в результате взаимодействия системы обмениваются посредниками и расходятся. Состояние систем до взаимодействия можно описать в виде

$$|\psi\rangle = |\psi_0\rangle|\delta\rangle, \quad |\phi\rangle = |\phi_0\rangle|\varepsilon\rangle,$$

где $|\delta\rangle, |\varepsilon\rangle$ - части систем, являющиеся посредниками взаимодействия. Тогда в результате взаимодействия получим системы

$$|\psi'\rangle = |\psi_0\rangle|\varepsilon\rangle, \quad |\phi'\rangle = |\phi_0\rangle|\delta\rangle.$$

Но пусть мы ничего не знаем о составляющих подсистемах и считаем, что две системы $|\psi\rangle$ и $|\phi\rangle$ провзаимодействовали, запутались и разошлись. Далее, если мы будем рассматривать только систему $|\psi'\rangle$ в отдельности, то, очевидно, мы "потеряем" часть $|\delta\rangle$ исходной системы $|\psi\rangle$. А при неполной информации о системе, как известно, приходится прибегать к статистической матрице плотности. Что полностью соответствует случаю несепарабельного состояния.

В пользу данной модели взаимодействия говорит следующее обстоятельство. Сепарабельность системы относительна - она зависит от базиса, в котором эту систему рассматривают. Соответствующий пример был рассмотрен здесь. Перепишем сюда.

$$\frac{1}{\sqrt 2} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \frac{1}{\sqrt 2}\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} $$

Здесь исходный вектор описывает сепарабельное состояние, а унитарный оператор эволюции переводит его в несепарабельное состояние. Но же самое преобразование $|\psi'\rangle = U|\psi\rangle$ можно записать с использованием матрицы плотности: $|\psi'\rangle\langle\psi'| = U|\psi\rangle\langle\psi|U^{-1}$, что есть не что иное как смена базиса. То есть, если мы перегоним операторы наблюдаемых тем же самым преобразованием $U$, то увидим, что несепарабельная система $|\psi'\rangle$ стала сепарабельной - всё зависит от того, каким образом мы производим измерения над этой системой. Это в точности соответствует построенной выше модели взаимодействия: если рассмотреть системы

$$|\psi'\rangle = |\psi_0\rangle|\varepsilon\rangle, \quad |\phi'\rangle = |\phi_0\rangle|\delta\rangle$$

в другом базисе, где $|\psi_0\rangle$ и $|\delta\rangle$ образуют одну систему, то они снова окажутся сепарабельными.

===

Теперь невычислимость $F$ диссипативной системы в квантовой механике выглядит совершенно естественно: при любом взаимодействии система получает случайный компонент-посредник, поэтому когда добавочная часть сигнала $|x\rangle = |z\rangle|\alpha\rangle$ вступает во взаимодействие с остальной частью сигнала или системой, эта система подвергается случайному возмущающему воздействию. Полное уравнение примет вид

$$|S'\rangle\big(|z\rangle|\varepsilon\rangle\big)\big(|\alpha\rangle|\delta\rangle\big) = U|S\rangle\big(|z\rangle|\delta\rangle\big)\big(|\alpha\rangle|\varepsilon\rangle\big)$$

или

$$|S'\rangle\big(|z\rangle|\varepsilon\rangle\big) = F|S\rangle\big(|z\rangle|\delta\rangle\big)\big(|\alpha\rangle|\varepsilon\rangle\big)$$

- случайную добавочку в виде $|\varepsilon\rangle$ мы увидеть не ожидали.

ИТОГО дело видится в том, что описание эволюции системы в виде $|\psi'\rangle = U|\psi\rangle$ не позволяет рассмотреть детали взаимодействия: после взаимодействия мы не знаем, как исходная составная (по сделанному предположению) система оказывается размещена в пространстве, и можем выбрать его произвольно, исходя из собственных соображений.

Это не связано именно с квантовой механикой, ибо даже описание динамики классической системы в виде эволюции её состояния в конфигурационном пространстве выглядит точно так же.

[Здесь мы пока прощаемся с квантовой механикой]

В следующий раз я изложу другой способ описания динамики системы и покажу, что он предоставляет больше информации, нежели способ эволюции состояния. В частности, устраняет произвол выбора разбиения системы на подсистемы после взаимодействия. Другими словами, описывая динамику с помощью эволюции состояния мы эту информацию теряем.

[AlexDem]

AlexDem в сообщении #1073082 писал(а):

в другом базисе, где $|\psi_0\rangle$ и $|\delta\rangle$ образуют одну систему, то они снова окажутся сепарабельными.

Поправка (в терминологии): Системы $\psi'$ и $\phi'$ "распутаются" и окажутся независимыми (а полная система, состоящая из $\psi'$ и $\phi'$ - да, окажется сепарабельной).

AlexDem в сообщении #1073082 писал(а):

[Здесь мы пока прощаемся с квантовой механикой]

В следующий раз я изложу другой способ описания динамики системы и покажу, что он предоставляет больше информации, нежели способ эволюции состояния.

Состояние классической динамической системы можно описать двумя разными способами:
1) Действительной функцией (или вектором), если эту систему понимать как состояние ограниченной области некоторого поля. Функция $x \mapsto \phi$ каждому значению координаты ставит в соответствие значение потенциала в этой точке.
2) Двумя действительными функциями (или векторами), если эту систему понимать механистически как совокупность элементарных частей, движущихся на пространственном фоне. Первая функция $n \mapsto x$ задаёт координаты частей системы, а вторая $n \mapsto v$ - скорости этих частей.

Динамика классической системы в обоих случаях задаётся как эволюция её состояния $x$ в фазовом пространстве $X$ в соответствии с некоторым детерминированным законом $U \colon x \to x'$ (будем записывать в виде $x' = U x$). Забудем на время про существование 2-го способа, пока не упомянем его отдельно, и будем работать с 1-м.

===

Предложим 3-й способ описания эволюции системы, который раньше не использовался. Если в 1-м варианте система понималась как некая область в пространстве, над состоянием $x$ которой производятся преобразования оператором $U$, то мы будем её понимать в активном смысле - как преобразующую саму себя (оператор $U$ в данном случае становится лишним).

С этой целью произвольным образом разобьём систему на две части $x = x_a \otimes x_b$ (где операция $\otimes$ означает объединение подсистем в одну систему). И будем считать, что каждой из подсистем в зависимости от её состояния сопоставлена функция $f_x \colon x \to x$, преобразующую состояния так, чтобы

$$x' = x_a' \otimes x_b' = f_b(x_a) \otimes f_a(x_b)$$

- можно добавить зависимость от времени, но для простоты записи этого делать не будем так же, как не делали в для оператора $U$. Будем записывать это преобразование в виде

$$\begin{cases} x_a' = x_a \odot x_b \qquad = f_b(x_a) \\ x_b' = x_b \odot x_a \qquad = f_a(x_b) \end{cases}$$

Другими словами, пусть каждому состоянию подсистемы сопоставлена функция, преобразующую состояние второй подсистемы таким образом, чтобы в совокупности состояние полной системы преобразовывалось так же, как и в результате действия $x' = U x$. Это сопоставление однозначно и не зависит от выбора систем, подсистем и прочего: каждому состоянию $x$ однозначно ставится в соответствие функция $f_x$. Поэтому можно считать, что функция $f_x$ собственно и задаёт состояние системы, никакие другие параметры для его описания не требуются. По этой причине в дальнейшем мы будем отождествлять состояние системы $x$ с функцией $f_x$.

Разные разбиения позволяют описать динамическую систему множеством различных способов: ту же систему можно представить в виде $x_c \otimes x_d = x$ и описать взаимодействие с помощью подсистем $c$ и $d$. Однако как только мы выбрали начальное разбиение, конечное разбиение системы после взаимодействия перестаёт быть произвольным (его можно варьировать выбором функции $f_x$, тем не менее сам этот выбор необходимо сделать).

Таким образом, 3-й способ описания эволюции системы сводится к тому, что каждой подсистеме приписывается некоторая функция, после чего составляющие части системы преобразуют друг друга безо всякого закона $U$, заданного извне.

===

Покажем, что 3-й способ описания более полон по сравнению с 1-м.

Действительно, если бы подсистемы $a$ и $b$ не взаимодействовали друг с другом, их эволюцию можно было бы описать независимо

$$x' = U x = U a \otimes U b$$

.
Однако при наличии взаимодействия каждая из подсистем является для другой окружением, влияющим на неё случайным образом, поэтому в этом случае оператор $U$ стал бы неоднозначным. Поэтому, если мы имеем конечное состояние $x'$ и заданное нами разбиение начального состояния на подсистемы $a$ и $b$, мы не можем сказать, какой из двух вариантов эволюции реализовался $x' = x_a' \otimes x_b'$ или $x' = x_b' \otimes x_a'$ (т.е. после взаимодействия подсистемы могли поменяться местами, а могли и нет). Это - неопределённость, от которой свободен предложенный 3-й вариант.

Описание по 3-му варианту более полно по сравнению с 1-м, поскольку в само состояние включён закон, по которому происходит эволюция системы. А это - дополнительная информация.

Теперь вспомним про 2-й вариант задания динамики системы, где состояние описывалось двумя функциями - координат и скоростей. Этот вариант также позволяет восстановить разбиение системы после взаимодействия. Просто потому, что начальную часть векторов можно отвести под параметры одной подсистемы, конечную - под параметры второй, и это разбиение, естественно, сохраниться и после взаимодействия.

В квантовой механике обнаружилось, что 2-й вариант задания состояния избыточен. Если мы знаем координату, то не знаем импульс, и наоборот. То есть состояние системы не содержит столько информации, чтобы описать координату и импульс одновременно.

Интересно, как поведёт себя 3-й вариант задания состояния при попытке построить квантовую теорию на его основе. Если некоторые функции будут недопустимы, то какие. Состояние системы здесь сводится к композиции состояния подсистем, т.е. тоже является одной функцией. И дополнительная информация берётся не абы откуда, и из закона эволюции системы, т.е. её как бы нет, и всё же она как бы есть.

(Если продолжу, то покажу как здесь возникает преобразование, похожее на Виковсий поворот)

[AlexDem]

Сперва подведём некоторые итоги. Если есть вопросы или замечания, я постараюсь на них ответить.

Что мы сделали.

1. Ввели наблюдателя как нелинейную систему, обладающую памятью. Для того, чтобы быть нелинейной, такая система должна отбрасывать часть входящей информации во внешнюю среду.
2. Попытались описать наблюдателя в стандартном формализме КМ. У нас это не получилось по невыясненной причине. Описание оказалось возможным только в случае, когда отбрасываемая часть входящего сигнала ни с чем не взаимодействовала.
3. Сделали предположение о механизме взаимодействия подсистем как обмене частями. После чего стала видна причина невозможности описания нелинейной системы в стандартном формализме КМ, связанная с возмущением со стороны отбрасываемой части входящего сигнала.
4. Далее сделали вывод о том, что стандартный формализм квантовой механики не позволяет рассмотреть детали взаимодействия в связи с тем, что в результате взаимодействия мы теряем информацию о расположении исходных подсистем в пространстве.
5. К двум существующим предложили 3-й способ описания эволюции классической системы, который предоставляет больше информации, нежели способ эволюции состояния. В частности, устраняет неопределённость выбора разбиения системы на подсистемы после взаимодействия.

В квантовой механике неопределённость устраняется путём измерения. То есть, если формализм содержит внутри себя источник, генерирующий неопределённость, то эту неопределённость нам придётся устранять только с помощью измерения. А он содержит. Как было показано выше, закон эволюции системы можно внести непосредственно в описание состояния, что сразу устраняет неопределённость разбиения на подсистемы после взаимодействия. Эта информация не является "скрытыми параметрами", поскольку не является дополнительной - закон эволюции мы и так знали. С другой стороны, информационное наполнение функций (векторов) состояния возрастает, что потенциально даёт возможность описать и разглядеть взаимодействие более детально - примерный результат такой детализации был продемонстрирован в п.3.

Остаётся вопрос, реализуется ли 3-й вариант в действительности, поскольку 2-й вариант, очевидно, не реализуется.

Ещё раз разница между тремя вариантами описания.

1. Система рассматривается как состояние ограниченной области некоторого поля. Динамика системы - как процесс изменения конфигурации этого поля во времени. Естественно, по динамике возмущений поля мы не можем установить где какая подсистема находится после взаимодействия (как если бы мы попытались сделать это, наблюдая волны на воде).
2. Система рассматривается как набор материальных точек, перемещающихся на пространственном фоне. Это описание даёт возможность отследить перемещение каждой точки в отдельности, поэтому не содержит неопределённости. Но не реализуется на практике.
3. Система рассматривается как состояние ограниченной области некоторого поля, как и в 1-м варианте. Однако закон динамики системы включается в её описание, что позволяет избежать неопределённости после взаимодействия. И мы можем восстановить расположение подсистем в пространстве после взаимодействия.

Несепарабельные состояния как раз и образуются в результате взаимодействия подсистем. Как раз там, где предложенный 3-й вариант описания динамики может дать лучшую детализацию.

Приведу пример, как одна и та же система может описываться по-разному разными наблюдателями. Пусть имеется смесь двух атомов водорода со спином электрона вверх или вниз. И два экспериментатора. Пока один из них вышел покурить, некурящий экспериментатор взял, и втайне измерил состояние каждого из атомов. Тогда курящий экспериментатор, вернувшись, не знает, каким именно вектором состояния обладает каждый из атомов, и поэтому вынужден использовать матрицу плотности для описания состояния смеси. Некурящий же экспериментатор имеет дополнительную информацию, и с его точки зрения состояние системы является чистым - он имеет возможность описать её вектором состояния.

Это проще понять, если вектор состояния (волновую функцию) воспринимать как набор наших знаний о системе, а не как физически существующий объект.

(Ссылки на авторитеты)

Cos(x-pi/2) в сообщении #1038786 писал(а):

Experimental delayed-choice entanglement swapping писал(а):

Whether these two particles are entangled or separable has been decided after they have been measured. If one views the quantum state as a real physical object, one could get the seemingly paradoxical situation that future actions appear as having an influence on past and already irrevocably recorded events. However, there is never a paradox if the quantum state is viewed as to be no more than a “catalogue of our knowledge”.

Менский: Квантовая механика. Новая формулировка старых вопросов писал(а):

Иногда различают два типа смешанных состояний, имеющих одинаковые матрицы плотности: 1) собственные смешанные состояния замкнутой системы, которые возникают, если неизвестно точно, в каком из чистых состояний эта система находится, и 2) несобственные смешанные состояния, возникающие, как в нашем случае, при редуцировании, т.е. при переходе от замкнутой системы к её подсистеме. <...> Никакими опытами, проведёнными в рамках некоторой системы, находящейся в смешанном состоянии, невозможно выяснить, является ли эта система замкнутой (и тогда смесь описывает неполное знание) или открытой (и тогда она является следствием запутывания системы с окружением).

[AlexDem]

Раз вопросов и комментариев нет, то чтобы совсем не превращать тему в блог, то приведу здесь основные замечания, которые я получил вне форума, и свои ответы на них.

Цитата:

Известно множество представлений квантовой механики, возможно, что развитие идеи позволит построить ещё одно. Которого, очевидно, на данный момент нет.

Да, этого нет. Это некое "доказательство существования". Непонятно даже, как последовательно описать классическую динамическую систему, не говоря о том, чтобы перейти к операторам.

Цитата:

Формула вида $U x = U a \otimes U b$ в КМ не имеет смысла из-за разных областей определения слева и справа знака равенства.

Будем считать, что $U$ действует в пространстве Фока (если не вру с определениями), то есть определён на $x, a, \text{ и }b$ тоже.

Цитата:

Значок тензорного произведения используется для обозначения объединения двух подсистем. Если это тензорное произведение, то получается, что у сепарабельное состояние двух подсистем обязательно переходит в сепарабельное. В квантовой механике это не так.

Символ $\otimes$ действительно был взят по аналогии с квантовой механикой, но в классической он, скорее, соответствует операции $\times$ декартова произведения. В классике состояние всегда сепарабельное, про КМ мы речь сейчас не ведём.

Цитата:

Утверждение о том, что в КМ 2-й вариант описания является избыточным, не вполне справедливо, поскольку из-за возможности суперпозиции состояний задание волновой функции требует больше информации, чем задание координат и импульсов всех частиц.

Это верно, как верно и то, что вектор из 3-го варианта также может содержать комплексные значения, поэтому его ёмкость всё равно больше.

Цитата:

Следовало бы:
а) дать однозначное изложение формализма и его соответствия со стандартной КМ;
б) разобрать какой-либо пример квантовой системы, состоящей из двух подсистем.

Формализма в операторном виде нет, полноценного примера поэтому нет. (А здесь я разбирал взаимодействие как обмен частями, однако там нужно понимать аккуратно, именно чтобы система не оказалась всегда сепарабельной).

[Pphantom]

AlexDem, не надо превращать форум в блог. Дождитесь реакции хотя бы одного собеседника.

[vit]

по моему Вы сильно увлеклись формулами.
Например эффект ластика это лишь мысленный эксперимент, вроде бы по формулам правильный, а при детальном рассмотрении превращается в эксперимент с отложенным выбором где наблюдатель просто не смотрит результаты зафиксированные прибором.
Более важный вопрос этой темы это может ли быть прибор наблюдателем или наблюдателем должен быть живой организм. Тут нужны эксперименты, для ответов на вопросы. Один такой эксперимент проведен. Сам эксперимент описан в статье на английском:
http://arxiv.org/pdf/1203.4834v1.pdf , Публикация в Нейчур: http://www.nature.com/nphys/journal/v8/ ... s2294.html
там как раз от действий экспериментатора сделанных после фиксации результата прибором зависит этот результат.

[justalive]

vit в сообщении #1086276 писал(а):

Например эффект ластика это лишь мысленный эксперимент

Уж на что я не копенгаген в квантовой механике, однако же даже мне известно, что если одним прибором Штерна-Герлаха пучок разделить, а другим - свести воедино, то эффект будет тем же как если бы никакие действия с пучком совершены не были. Квантовый ластик - это из той же оперы.

По поводу последних сообщений - до сих пор чешу репу, не знаю, что сказать. Верен вывод, либо нет. Поэтому лучше промолчу.