Замкнутость множества точек покоя.

[KaDeaT]

Добрый день.
Возник небольшой вопрос в доказательстве следующего утверждения.


Допустим в метрическом пространства $(X, \rho)$ задана динамическая система $(X, \{g^t}\, \rho)$.
Определение: $p$ - точка покоя ДС, если $g^tp = p$ для любого $t$.
Пусть $P$ множество всех точек покоя.

Утверждение: Множество точек покоя замкнуто.

Сначала я хотел доказать так:
Известно, что множество $P$ - инвариантное множество относительно траекторий ДС. А значит оно представимо в виде объединения целых траекторий. Так как каждая траектория в множестве $P$ это точка, а точка замкнутое множество, то все множество $P$ тоже замкнуто, как объединение замкнутых множеств.
Но потом я сообразил, что это правильно только в случае, когда $P$ состоит из конечного числа точек.

Тогда я посмотрел предложенное доказательство. Там действуют следующим образом.
Хотим показать, что $P$ - замкнутое множество, т.е. $\bar{P} = P$
Пусть $p_n \rightarrow p$ и $\{ p_n \} \subset P$.
$g^tp_n = p_n$ для любого $t \in R$.
$g^tn_p \rightarrow g^tp$ для любого $t \in R$ - по непрерывности $g^t$.
Таким образом, $p \in P$, и тем самым множество $P$ замкнуто.

Мне как-то не понятно почему $p \in P$. Поясните пожалуйста.

[dsge]

KaDeaT в сообщении #1087768 писал(а):

Пусть $p_n \rightarrow p$
$g^tp_n = p_n$ для любого $t \in R$.
$p_n=g^t p_n \rightarrow g^tp$ для любого $t \in R$ - по непрерывности $g^t$.

$p_n \rightarrow p$
$p_n \rightarrow g^tp$
$p=g^tp$
Предел единственен.

[KaDeaT]

Спасибо за ответ.
Но я видимо плохо сформулировал вопрос. Мне не ясно, почему $p$ принадлежит $P$.
Поправлю и в сообщении.

[dsge]

KaDeaT в сообщении #1087772 писал(а):

Мне не ясно, почему $p$ принадлежит $P$.

KaDeaT в сообщении #1087768 писал(а):

$P$ - замкнутое множество, т.е. $\bar{P} = P$
Пусть $p_n \rightarrow p$ и $\{ p_n \} \subset P$.

[KaDeaT]

Не понимаю о чем Вы.

Вот смотрите. У меня имеется, что все элементы последовательно принадлежат множеству $P$. Но про предел этой последовательности - $p$ мне неизвестно принадлежит он $P$ или нет.
Этот факт по мнению авторов факт принадлежности $p$ множеству $P$ должен стать для меня очевидным из следующих выкладок:

KaDeaT в сообщении #1087768 писал(а):

Добрый день.
Пусть $p_n \rightarrow p$ и $\{ p_n \} \subset P$.
$g^tp_n = p_n$ для любого $t \in R$.
$g^tn_p \rightarrow g^tp$ для любого $t \in R$ - по непрерывности $g^t$.

Мне он не стал очевидным. Хочу разобраться.

[dsge]

KaDeaT в сообщении #1087776 писал(а):

Но про предел этой последовательности - $p$ мне неизвестно принадлежит он $P$ или нет.

KaDeaT в сообщении #1087768 писал(а):

$P$ - замкнутое множество, т.е. $\bar{P} = P$

Вы разобрались с определением замкнутого множества?

[KaDeaT]

Всё, я понял.
Ответ был еще в первом сообщении. Спасибо dsge.

[demolishka]

Как альтернатива: множество неподвижных точек непрерывного отображения замкнуто. Множество состояний равновесия есть пересечение множеств неподвижных точек для каждого $g^t.$

[Lia]

KaDeaT
Приведите определение замкнутого множества.

[dsge]

dsge в сообщении #1087771 писал(а):

$p=g^tp$

Значит $p \in P$, значит $P$ замкнуто.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- отсутствуют собственные содержательные попытки решения задач(и).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Чулан»