Добрый день.
Возник небольшой вопрос в доказательстве следующего утверждения.
Допустим в метрическом пространства

задана динамическая система

.
Определение:

- точка покоя ДС, если

для любого

.
Пусть

множество всех точек покоя.
Утверждение: Множество точек покоя замкнуто.
Сначала я хотел доказать так:
Известно, что множество

- инвариантное множество относительно траекторий ДС. А значит оно представимо в виде объединения целых траекторий. Так как каждая траектория в множестве

это точка, а точка замкнутое множество, то все множество

тоже замкнуто, как объединение замкнутых множеств.
Но потом я сообразил, что это правильно только в случае, когда

состоит из конечного числа точек.
Тогда я посмотрел предложенное доказательство. Там действуют следующим образом.
Хотим показать, что

- замкнутое множество, т.е.

Пусть

и

.

для любого

.

для любого

- по непрерывности

.
Таким образом,

, и тем самым множество

замкнуто.
Мне как-то не понятно почему

. Поясните пожалуйста.