2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Максимально возможное значение Eexp(X) при ограничениях на X
Сообщение28.12.2015, 01:22 


07/04/15
244
Пусть $P(|X|\leq b)=1$, $EX=0$ и $DX=\sigma^2$ $b,\sigma>0$. Какое максимальное значение может принять $Ee^X$?

Из выпуклости $e^X$ следует неравенство на отрезке $[-b,b]$:
$$
e^X\leq\dfrac{e^b-e^{-b}}{2b}X+\frac{e^b+e^{-b}}{2} 
$$
$$
Ee^X\leq\dfrac{e^b-e^{-b}}{2b}EX+\frac{e^b+e^{-b}}{2}=\frac{e^b+e^{-b}}{2}
$$

Оценка получается не достижимой, потому что дисперсия выходит $b^2$. Надо как-то вовлечь в участие ограничение на дисперсию. :roll:

 Профиль  
                  
 
 Re: Максимально возможное значение Eexp(X) при ограничениях на X
Сообщение29.12.2015, 07:16 


07/04/15
244
Почему мои вопросы в основном игнорируются? Я как-то не так формулирую или что-то другое нужно исправить? :-(

 Профиль  
                  
 
 Re: Максимально возможное значение Eexp(X) при ограничениях на X
Сообщение29.12.2015, 08:03 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


24/02/12
1842
Москва
Можно попробовать искать плотность как решение вариационной задачи. Впрочем, это может быть не лучший совет, просто первое, что в голову пришло.

 Профиль  
                  
 
 Re: Максимально возможное значение Eexp(X) при ограничениях на X
Сообщение29.12.2015, 10:38 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
9490
Москва
У меня такое впечатление, что (в силу той же выпуклости) наибольшее значение матожидания достигается на таком же симметричном решении, только не упёршись в b, а исходя из ограничения на дисперсию.

 Профиль  
                  
 
 Re: Максимально возможное значение Eexp(X) при ограничениях на X
Сообщение29.12.2015, 13:20 
Заслуженный участник


03/01/09
1677
москва
2old в сообщении #1086380 писал(а):
Оценка получается не достижимой, потому что дисперсия выходит $b^2$. Надо как-то вовлечь в участие ограничение на дисперсию.


Ограничение на дисперсию можно использовать. Так как функция $e^{\frac X2}$ тоже выпуклая, то:
$$e^{\frac X2}\leq\dfrac{e^{\frac b2}-e^{\frac {-b}2}}{2b}X+\frac{e^{\frac b2}+e^{\frac {-b}2}}{2}$$и, следовательно:


$$Ee^X=E(e^{\frac X2})^2\leq \dfrac {\sigma ^2}{b^2}\sh ^2(\frac b2)+\ch ^2(\frac b2)$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Максимально возможное значение Eexp(X) при ограничениях на X
Сообщение29.12.2015, 15:56 
Аватара пользователя


14/10/13
339
ex-math в сообщении #1086666 писал(а):
Можно попробовать искать плотность
Да там небось и не будет плотности.

 Профиль  
                  
 
 Re: Максимально возможное значение Eexp(X) при ограничениях на X
Сообщение29.12.2015, 16:12 


16/02/10
258
Для финитного распределения, заданного на $[-b,b] $ с нулевым средним верно неравенство $\sigma\le b$. При $\sigma=b$ функция плотности сосредоточена в граничных точках: $p(x)=\frac{\delta(x+b)+\delta(x-b)}2$ и, как Вами показано, выполнено $\max Ee^X=\ch(b)$.
Думаю, что при $\sigma<b$ выполнено $\max Ee^X=\ch(\sigma)$ и максимум достигается на функции плотности $p(x)=\frac{\delta(x+\sigma)+\delta(x-\sigma)}2$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Максимально возможное значение Eexp(X) при ограничениях на X
Сообщение03.01.2016, 15:14 
Заслуженный участник


03/01/09
1677
москва
VPro в сообщении #1086812 писал(а):
Думаю, что при $\sigma<b$ выполнено $\max Ee^X=\ch(\sigma)$ и максимум достигается на функции плотности $p(x)=\frac{\delta(x+\sigma)+\delta(x-\sigma)}2$.

На самом деле $\ch (\sigma )$ - это $\min Ee^X$, на четных плотностях вероятности $(p(x)=p(-x))$. Действительно, для четных плотностей $$Ee^X=\sum \limits _{k=0}^{\infty }\dfrac {EX^{2k}}{(2k)!}\geq \sum \limits _{k=0}^{\infty }\dfrac {(EX^2)^k}{(2k)!}=\ch (\sigma )$$Так как $EX^{2k}\geq (EX^2)^k=\sigma ^{2k}$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group