СТО. Момент импульса свободной частицы.

[tech]

Здравствуйте. Возник вопрос по §14 (Момент импульса) из ЛЛ-2.

Изменение действия при преобразовании $x^{\mu}\to x^{\mu} +x_{\nu}\delta \Omega^{\mu \nu}$ ( $\delta \Omega^{\mu \nu}$ – антисимметричный тензор) выглядит так:

$\delta S=-\delta \Omega_{\mu \nu} p^{\mu} x^{\nu} \big|_a^b$
(пусть будет всего лишь одна частица)

Так как действие не меняется при повороте траектории частицы в ПВ, то $\delta S =0$.

Почему отсюда нельзя сделать вывод, что $p^{\mu}x^{\nu}\big|_a^b =0 \Rightarrow (p^{\mu}x^{\nu})_a=(p^{\mu}x^{\nu})_b$ ?

Понятно, что такая штука не будет сохраняться для свободной частицы. Возьмём, например $00$-компоненту, это будет $\varepsilon t$, где $\varepsilon=\operatorname{const}$ – энергия частицы, а время $t$ растёт.

Но та же самая (?) логика (коэффициент при $\delta \Omega_{\mu \nu}$ равен $0$) используется в ЛЛ после антисимметризации тензора $p^{\mu}x^{\mu}$, и мы получаем сохраняющуюся величину – момент.

А почему без антисимметризации получается что-то, что, очевидно, не сохранятся вдоль траектории свободной частицы?

[Munin]

tech в сообщении #1087307 писал(а):

Почему отсюда нельзя сделать вывод, что $p^{\mu}x^{\nu}\big|_a^b =0 \Rightarrow (p^{\mu}x^{\nu})_a=(p^{\mu}x^{\nu})_b$ ?

Потому что $\delta\Omega_{\mu\nu}$ не произвольный, а антисимметричный. То есть, вы имеете здесь: $-\delta\Omega_{\mu\nu}p^\mu x^\nu|_a^b=0$ - не 16 разных уравнений, а всего 6. И чтобы найти, какие именно эти уравнения, вам надо воспользоваться антисимметрией этого тензора:

$\delta\Omega_{\mu\nu}=\tfrac{1}{2}(\delta\Omega_{\mu\nu}-\delta\Omega_{\nu\mu})$
$\delta\Omega_{\mu\nu}p^\mu x^\nu|_a^b=\tfrac{1}{2}(\delta\Omega_{\mu\nu}-\delta\Omega_{\nu\mu})p^\mu x^\nu|_a^b=\quad(\textit{переименовывая индексы})$
$=\tfrac{1}{2}(\delta\Omega_{\mu\nu}p^\mu x^\nu|_a^b-\delta\Omega_{\mu\nu}p^\nu x^\mu|_a^b)=\delta\Omega_{\mu\nu}p^{[\mu}x^{\nu]}|_a^b.$

А для того, что вы хотите заявить, у вас просто не достаточно уравнений. Зануляется не коэффициент при произвольной паре $\mu,\nu,$ а только сумма коэффициентов при двух таких симметричных парах.

[tech]

Спасибо, понял.

[Munin]

Пожалуй, уточню.

Munin в сообщении #1087323 писал(а):

То есть, вы имеете здесь: $-\delta\Omega_{\mu\nu}p^\mu x^\nu|_a^b=0$ - не 16 разных уравнений, а всего 6.

На самом деле, здесь вообще всего одно уравнение. Но с 6 произвольными коэффициентами. С 6, а не с 16. И чтобы найти, на что именно умножены эти произвольные коэффициенты (чтобы и получить 6 отдельных уравнений), и проводятся последующие манипуляции.

А то я как-то нечётко сказал.

[Sicker]

Munin
С наступившим:)