fixfix
2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 СТО. Момент импульса свободной частицы.
Сообщение31.12.2015, 14:14 


09/01/14
257
Здравствуйте. Возник вопрос по §14 (Момент импульса) из ЛЛ-2.

Изменение действия при преобразовании $x^{\mu}\to x^{\mu} +x_{\nu}\delta \Omega^{\mu \nu}$ ( $\delta \Omega^{\mu \nu}$ – антисимметричный тензор) выглядит так:

$\delta S=-\delta \Omega_{\mu \nu} p^{\mu} x^{\nu} \big|_a^b$
(пусть будет всего лишь одна частица)

Так как действие не меняется при повороте траектории частицы в ПВ, то $\delta S =0$.

Почему отсюда нельзя сделать вывод, что $p^{\mu}x^{\nu}\big|_a^b =0 \Rightarrow (p^{\mu}x^{\nu})_a=(p^{\mu}x^{\nu})_b$ ?

Понятно, что такая штука не будет сохраняться для свободной частицы. Возьмём, например $00$-компоненту, это будет $\varepsilon t$, где $\varepsilon=\operatorname{const}$ – энергия частицы, а время $t$ растёт.

Но та же самая (?) логика (коэффициент при $\delta \Omega_{\mu \nu}$ равен $0$) используется в ЛЛ после антисимметризации тензора $p^{\mu}x^{\mu}$, и мы получаем сохраняющуюся величину – момент.

А почему без антисимметризации получается что-то, что, очевидно, не сохранятся вдоль траектории свободной частицы?

 Профиль  
                  
 
 Re: СТО. Момент импульса свободной частицы.
Сообщение31.12.2015, 15:00 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
tech в сообщении #1087307 писал(а):
Почему отсюда нельзя сделать вывод, что $p^{\mu}x^{\nu}\big|_a^b =0 \Rightarrow (p^{\mu}x^{\nu})_a=(p^{\mu}x^{\nu})_b$ ?

Потому что $\delta\Omega_{\mu\nu}$ не произвольный, а антисимметричный. То есть, вы имеете здесь: $-\delta\Omega_{\mu\nu}p^\mu x^\nu|_a^b=0$ - не 16 разных уравнений, а всего 6. И чтобы найти, какие именно эти уравнения, вам надо воспользоваться антисимметрией этого тензора:
    $\delta\Omega_{\mu\nu}=\tfrac{1}{2}(\delta\Omega_{\mu\nu}-\delta\Omega_{\nu\mu})$
    $\delta\Omega_{\mu\nu}p^\mu x^\nu|_a^b=\tfrac{1}{2}(\delta\Omega_{\mu\nu}-\delta\Omega_{\nu\mu})p^\mu x^\nu|_a^b=\quad(\textit{переименовывая индексы})$
    $=\tfrac{1}{2}(\delta\Omega_{\mu\nu}p^\mu x^\nu|_a^b-\delta\Omega_{\mu\nu}p^\nu x^\mu|_a^b)=\delta\Omega_{\mu\nu}p^{[\mu}x^{\nu]}|_a^b.$

А для того, что вы хотите заявить, у вас просто не достаточно уравнений. Зануляется не коэффициент при произвольной паре $\mu,\nu,$ а только сумма коэффициентов при двух таких симметричных парах.

 Профиль  
                  
 
 Re: СТО. Момент импульса свободной частицы.
Сообщение01.01.2016, 01:09 


09/01/14
257
Спасибо, понял.

 Профиль  
                  
 
 Re: СТО. Момент импульса свободной частицы.
Сообщение01.01.2016, 01:53 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Пожалуй, уточню.
    Munin в сообщении #1087323 писал(а):
    То есть, вы имеете здесь: $-\delta\Omega_{\mu\nu}p^\mu x^\nu|_a^b=0$ - не 16 разных уравнений, а всего 6.
На самом деле, здесь вообще всего одно уравнение. Но с 6 произвольными коэффициентами. С 6, а не с 16. И чтобы найти, на что именно умножены эти произвольные коэффициенты (чтобы и получить 6 отдельных уравнений), и проводятся последующие манипуляции.

А то я как-то нечётко сказал.

 Профиль  
                  
 
 Re: СТО. Момент импульса свободной частицы.
Сообщение01.01.2016, 02:08 
Аватара пользователя


13/08/13

4323
Munin
С наступившим:)

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Lehastyi


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group