2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Поиск фундаментальной группы
Сообщение25.12.2015, 16:23 


06/07/12
28
Задача такая: Найти фундаментальную группу $\pi_1 (X)$ , где X - крендель с вклеинными 2 листами Мёбиуса (см. рис.)

Рисунок:

(Оффтоп)

Изображение


На рисунке листы мёбиуса помечены красным цветом.
Как это можно посчитать?
Я думаю, что только с помощью применения теоремы Ван Кампена, причем 2 раза.

1) $X = X_1 \cup X_2$, где $X_1$ и $X_2$ - тор со вклеинным листом Мёбиуса. Причем $X_1 \cap X_2 = S^1$.

2) $X_2 = X_1 = Y_1 \cup Y_2$, где $Y_1 = T \setminus D \setminus D$, где $D$ - диск. $Y_2 = M$, где $M$ - лист Мёбиуса. Причем $Y_1 \cap Y_2 = S^1$.

3) Итак, нам, можно сказать, известно, что:
$$\pi_1 (Y_1) = \pi_1( T \setminus D \setminus D ) = \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}$$
$$\pi_1(Y_2) = \pi_1 (M) = \pi_1(S^1) = \mathbb{Z}$$

Как можно найти будет $\pi_1(X_1)$ и $\pi_1(X)$ ?

 Профиль  
                  
 
 Re: Поиск фундаментальной группы
Сообщение27.12.2015, 20:45 


11/07/14
132
$X=2T \sharp 2 \mathbb{R}\mathrm{P}^2 \cong 8 \mathbb{R}\mathrm{P}^2$

 Профиль  
                  
 
 Re: Поиск фундаментальной группы
Сообщение28.12.2015, 14:08 


06/07/12
28
Dmitry Tkachenko в сообщении #1086288 писал(а):
$X=2T \sharp 2 \mathbb{R}\mathrm{P}^2 \cong 8 \mathbb{R}\mathrm{P}^2$



Я прошу прощения, откуда взялись проективные плоскости?
У меня листы мёбиуса вклеены.

 Профиль  
                  
 
 Re: Поиск фундаментальной группы
Сообщение30.12.2015, 20:30 


11/07/14
132
nglain, Ваше пространство -- это связная сумма тора, тора, листа мёбиуса и листа мёбиуса, то есть $X\cong T\sharp T\sharp Mo \sharp Mo.$ Далее, $Mo \cong \mathbb{R}\mathrm{P}^2$ (это не сложно доказать), откуда $X\cong T\sharp T\sharp \mathbb{R}\mathrm{P}^2 \sharp \mathbb{R}\mathrm{P}^2 \cong 2T\sharp 2\mathbb{R}\mathrm{P}^2$ (это следует из свойств связной суммы). Следующий шаг --- показать, что $2T\sharp 2\mathbb{R}\mathrm{P}^2\cong 6\mathbb{R}\mathrm{P}^2.$ Для этого, сначала, докажите, что $T\sharp 2\mathbb{R}\mathrm{P}^2\cong 3\mathbb{R}\mathrm{P}^2.$ Далее, просто получаем формулу $mT\sharp n\mathbb{R}\mathrm{P}^2\cong (2m+n)\mathbb{R}\mathrm{P}^2.$

Прошу прощения, выше описка --- должно быть $X=2T \sharp 2 \mathbb{R}\mathrm{P}^2 \cong 6 \mathbb{R}\mathrm{P}^2.$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 4 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group