Поиск фундаментальной группы

[nglain]

Задача такая: Найти фундаментальную группу $\pi_1 (X)$ , где X - крендель с вклеинными 2 листами Мёбиуса (см. рис.)

Рисунок:

(Оффтоп)

На рисунке листы мёбиуса помечены красным цветом.
Как это можно посчитать?
Я думаю, что только с помощью применения теоремы Ван Кампена, причем 2 раза.

1) $X = X_1 \cup X_2$, где $X_1$ и $X_2$ - тор со вклеинным листом Мёбиуса. Причем $X_1 \cap X_2 = S^1$.

2) $X_2 = X_1 = Y_1 \cup Y_2$, где $Y_1 = T \setminus D \setminus D$, где $D$ - диск. $Y_2 = M$, где $M$ - лист Мёбиуса. Причем $Y_1 \cap Y_2 = S^1$.

3) Итак, нам, можно сказать, известно, что:

$$\pi_1 (Y_1) = \pi_1( T \setminus D \setminus D ) = \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}$$

$$\pi_1(Y_2) = \pi_1 (M) = \pi_1(S^1) = \mathbb{Z}$$

Как можно найти будет $\pi_1(X_1)$ и $\pi_1(X)$ ?

[Dmitry Tkachenko]

$X=2T \sharp 2 \mathbb{R}\mathrm{P}^2 \cong 8 \mathbb{R}\mathrm{P}^2$

[nglain]

Dmitry Tkachenko в сообщении #1086288 писал(а):

$X=2T \sharp 2 \mathbb{R}\mathrm{P}^2 \cong 8 \mathbb{R}\mathrm{P}^2$

Я прошу прощения, откуда взялись проективные плоскости?
У меня листы мёбиуса вклеены.

[Dmitry Tkachenko]

nglain, Ваше пространство -- это связная сумма тора, тора, листа мёбиуса и листа мёбиуса, то есть $X\cong T\sharp T\sharp Mo \sharp Mo.$ Далее, $Mo \cong \mathbb{R}\mathrm{P}^2$ (это не сложно доказать), откуда $X\cong T\sharp T\sharp \mathbb{R}\mathrm{P}^2 \sharp \mathbb{R}\mathrm{P}^2 \cong 2T\sharp 2\mathbb{R}\mathrm{P}^2$ (это следует из свойств связной суммы). Следующий шаг --- показать, что $2T\sharp 2\mathbb{R}\mathrm{P}^2\cong 6\mathbb{R}\mathrm{P}^2.$ Для этого, сначала, докажите, что $T\sharp 2\mathbb{R}\mathrm{P}^2\cong 3\mathbb{R}\mathrm{P}^2.$ Далее, просто получаем формулу $mT\sharp n\mathbb{R}\mathrm{P}^2\cong (2m+n)\mathbb{R}\mathrm{P}^2.$

Прошу прощения, выше описка --- должно быть $X=2T \sharp 2 \mathbb{R}\mathrm{P}^2 \cong 6 \mathbb{R}\mathrm{P}^2.$