Читаю Фихтенгольца, там он в разделе "Понятие об обратной функции" пишет:
Исходя из теоремы сложения синуса

можно получить теорему сложения для арксинуса. Именно, положим здесь

,

(где

и

лежат между -1 и +1); тогда

, а

, причем корни берутся со знаком плюс, так как углы

и

, по характерному свойству главного значения арксинуса, лежат между

и

, так что косинусы их положительны.
Итак,

откуда

Формула может быть написана проще:

лишь в том случае, если и

не выходит из промежутка
![$\left[ { - \frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}} \right]$ $\left[ { - \frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}} \right]$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/8/4/884be5dce65eeb533619b6116f18092782.png)
. Это условие автоматически выполняется, если аргументы

и

(а с ними

и

) имеют различные знаки. В случае же одинаковых знаков высказанное условие, как легко видеть, равносильно такому:

Последнее мне не понятно. Как он вывел неравенство
