2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Гомоморфизм, ядро, образ
Сообщение27.12.2015, 15:59 


20/12/15
11
По условию отображение \varphi:T(n,R)\rightarrow D(n,R).

Гомоморфизм доказал, ядро нашел (матрицы с определителем 1), но возник вопрос с образом.
Я правильно понимаю, что образ - элементы из D(n,R), для которых при данном гомоморфизме есть элемент из T(n,R)?

В таком случае у меня получается, что Im \varphi=D(n,R). Тогда данный гомоморфизм - эпиморфизм, так?

 Профиль  
                  
 
 Re: Гомоморфизм, ядро, образ
Сообщение27.12.2015, 16:53 
Заслуженный участник


30/01/09
4924
Good_student в сообщении #1086192 писал(а):
По условию отображение \varphi:T(n,R)\rightarrow D(n,R)

Это дословная формулировка задания? Там больше никаких пояснений нет (что какие буквы обозначают)?

 Профиль  
                  
 
 Re: Гомоморфизм, ядро, образ
Сообщение27.12.2015, 17:06 


20/12/15
11
Цитата:
Это дословная формулировка задания? Там больше никаких пояснений нет (что какие буквы обозначают)?


T(n,R) - это верхнетреугольные матрицы вида $$\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
0 & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
0 & 0 & \cdots & a_{nn} \\
\end{pmatrix}$. D(n,R) -это диагональные матрицы вида $=\begin{pmatrix}
a_{11} & 0 & \cdots & 0 \\
0 & a_{22} & \cdots & 0 \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
0 & 0 & \cdots & a_{nn} \\
\end{pmatrix}$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Гомоморфизм, ядро, образ
Сообщение27.12.2015, 17:26 
Заслуженный участник


11/11/07
1198
Москва
Good_student в сообщении #1086192 писал(а):
Тогда данный гомоморфизм - эпиморфизм, так?

Это так. А с ядром повнимательнее посмотрите.

 Профиль  
                  
 
 Re: Гомоморфизм, ядро, образ
Сообщение27.12.2015, 17:50 


20/12/15
11
AV_77

А что не так с ядром? Единичный элемент из D(n,R) - единичная матрица, в неё будут отображаться все матрицы вида $$\begin{pmatrix}
1 & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
0 &1 & \cdots & a_{2n} \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
0 & 0 & \cdots & 1 \\
\end{pmatrix}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Гомоморфизм, ядро, образ
Сообщение27.12.2015, 17:51 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
Это верно, а вот матриц с единичным определителем больше.

 Профиль  
                  
 
 Re: Гомоморфизм, ядро, образ
Сообщение27.12.2015, 17:59 


20/12/15
11
Xaositect
Но ведь только приведенная мной содержится в T(n,R)

Кажется, я неправильно выразился в своем первом сообщении. Написал "матрицы с определителем 1", а имел ввиду "матрицы из T(n,R) с определителем 1"

 Профиль  
                  
 
 Re: Гомоморфизм, ядро, образ
Сообщение27.12.2015, 18:04 
Заслуженный участник


11/11/07
1198
Москва
Good_student в сообщении #1086234 писал(а):
Но ведь только приведенная мной содержится в T(n.R).

Не только они, а еще, очень много других.

 Профиль  
                  
 
 Re: Гомоморфизм, ядро, образ
Сообщение27.12.2015, 18:16 


20/12/15
11
AV_77
Даже если добавить отрицательные числа и сказать, что общий вид ядра будет $$\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
0 & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
0 & 0 & \cdots & a_{nn} \\
\end{pmatrix}$$, где $a_{11}a_{22}...a_{nn}=1$, то ядро по прежнему - матрицы из T(n,R) с определителем 1.
Cовсем запутался, в каком моменте мои рассуждения не верны?

 Профиль  
                  
 
 Re: Гомоморфизм, ядро, образ
Сообщение27.12.2015, 18:19 
Заслуженный участник


11/11/07
1198
Москва
Good_student в сообщении #1086236 писал(а):
ядро по прежнему - матрицы из T(n,R) с определителем 1.

Нет, конечно. Вот пусть $n = 3$. Матрица
$\begin{pmatrix}
2 & 1 & 1 \\
0 & 0.5 & 1 \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}$
лежит в ядре или нет?

 Профиль  
                  
 
 Re: Гомоморфизм, ядро, образ
Сообщение27.12.2015, 18:23 


20/12/15
11
AV_77
Понял, спасибо

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 11 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group