Исследовать на непрерывность функцию

[sv1ridov]

Здравствуйте.

Необходимо исследовать функцию на непрерывность

$ f(x)= \begin{cases} \left\lvert x \right\rvert ,&\text{если $x \notin \mathbb{Q}$ или $x=0$,}\\ \frac{qx}{q+1},&\text{если $x=\frac{p}{q}$, (p,q)=1.}\\ \end{cases} $

Я так понимаю, что в $x \in \mathbb{Q}$ будут устранимые разрывы первого рода.
Что будет происходит в точках $x \notin \mathbb{Q}$ ? Может быть стоит рассматривать какие-то подпоследовательности?

[gris]

Последовательности хороши для доказательства разрывности. А тут вполне можно обойтись эпсилон-дельтой. И не забыть о мелочи: знаке $q$.

[NSKuber]

Кстати, а это ещё вопрос: если $x$ равен, например, $-\frac{1}{2}$, то $p=-1,q=2$ или $p=1,q=-2$? Результат разный получается.

(Оффтоп)

Скорее всего первое, чтобы деления на ноль в целых отрицательных точках не было.

[popolznev]

Стандартно имеется в виду несократимая дробь с положительным знаменателем.

[gefest_md]

sv1ridov в сообщении #1085650 писал(а):

Я так понимаю, что в $x \in \mathbb{Q}$ будут устранимые разрывы первого рода.

Почему? Мне кажется это неверно.

sv1ridov в сообщении #1085650 писал(а):

Что будет происходит в точках $x \notin \mathbb{Q}$ ?

А как Вы заключили, что в рациональных точках - разрывы?

[gris]

Кстати, можно для простоты вычесть из функции удобную непрерывную. И казаться перестанет
Ну, в нуле, разве что, особый случай.