Помогите доказать равномерную непрерывность

[-Sofiko-]

Доброго времени суток! Нужно доказать что функция
$\varphi(x) = e^{-x}$ равномерно непрерывна на интервале $x\in(0, +\infty)$

Далее, по определению равномерной непрерывности
$\forall\varepsilon >0\ \exists\delta(\varepsilon)>0\ \forall x_1,x_2\in(0, +\infty): |x_1-x_2|<\delta\Rightarrow |\varphi(x_1) - \varphi(x_2)|<\varepsilon$

Начинаю оценивать сверху $|e^{-x_1}-e^{-x_2}|=|\frac{e^{-x_1}-e^{-x_2}}{e^{-x_1}e^{-x_2}}|<|1-e^{x_1-x_2}|<\varepsilon$
А дальше все встает намертво... Не понятно как из этого получить $ |x_1-x_2|<\delta$\ \ и если убирать модуль, то получиться что $ x_1-x_2<\ln(\varepsilon - 1)$
Где $\ln(\varepsilon - 1)$ существует только для $\varepsilon>1$

Подскажите, пожалуйста, в чем тут проблема?

[Brukvalub]

Так у этой функции ограниченная на указанном луче производная...

[-Sofiko-]

Brukvalub в сообщении #1085571 писал(а):

Так у этой функции ограниченная на указанном луче производная...

Если функция $f (x)$ имеет на промежутке $X$ ограниченную
производную, то $f (x)$ равномерно непрерывна на этом промежутке?

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[Brukvalub]

-Sofiko- в сообщении #1085573 писал(а):

Если функция $f (x)$ имеет на промежутке $X$ ограниченную
производную, то $f (x)$ равномерно непрерывна на этом промежутке?

Да. Докажите это утверждение.

[-Sofiko-]

Цитата:

Да. Докажите это утверждение.

Если производная функции на промежутке X ограниченна, то $\exists A>0$ : $|f'(x)|<A$ $\forall x\in X$
И необходимо доказать, что $\forall\varepsilon >0\ \exists\delta(\varepsilon)>0 \ \ \forall x_1, x_2 : |x_1-x_2|<\delta\Rightarrow |\varphi(x_1) - \varphi(x_2)|<\varepsilon$

Возьмем две точки, удовлетворяющие условию $|x_1-x_2|<\delta$ Тогда на отрезке $[x_1;x_2]$ для функции $\varphi(x)$ выполняются условия теоремы Лагранжа?

Значит, существует точка $a : x_1<a<x_2$ что $|\varphi(x_1) - \varphi(x_2)| = |f'(a)||x_2-x_1|<A\delta $
Положим $\delta=\frac{\varepsilon}{A}$
Получится $|f'(a)||x_2-x_1|<\frac{A\delta}{A}=\varepsilon$

[Brukvalub]

Верно. Теперь используйте доказанное для решения задачи.

[-Sofiko-]

Производная отрицательная, т.к функция $e^{-x}$ убывает на промежутке $(0, +\infty)$ и равна $-e^{-x}$
Минимальное значение будет при $x=0$ $\ \ f'(0)= -1$
И $\lim\limits_{x \to \infty}^{}-e^{-x}=0$
Получается что $-1<f'(x)<0$
Тогда возьму $A=1$ и и выйдет что $|f'(x)|\leqslant A$
Получилось, что производная ограничена на интервале, и по утверждению получается что функция равномерно непрерывна на этом интервале.

[ewert]

Идейно-то это Лагранж, конечно. Но вообще-то достаточно того, что $e^{|x-y|}>|x-y|$...

[popolznev]

Я думаю, что вам лучше действовать без привлечения производной. Вы всё правильно написали до определённого момента. Если сообразить, что такое равномерная непрерывность и в чём её соль, то доказательство мигом завершится. А упражнение ведь для того и дано, чтобы вы осваивались с понятием равномерной непрерывности.

Вот у вас получилось выражение: $|1-e^{x_1-x_2}|$. Обратите внимание: если $|x_1-x_2|$ мало, то $e^{x_1-x_2}$ близко к $1$, а значит, $|1-e^{x_1-x_2}|$ близко к 0. И вот ключевой момент: это выражение зависит только от разности $|x_1-x_2|$, но не зависит от того, в каком месте вещественной прямой находятся точки $x_1, x_2$. То есть, скажем, при $x_1 = 1$, $x_2 = 1.001$ получается то же самое, что при $x_1 = 100500$, $x_2 = 100500.001$. Это вот как раз к равномерной непрерывности.

[мат-ламер]

Может топикстартер что-то слышал про константу этого товарища?

[-Sofiko-]

мат-ламер в сообщении #1085688 писал(а):

Может топикстартер что-то слышал про константу этого товарища?

Нет, к сожалению(

-- 25.12.2015, 15:36 --

popolznev в сообщении #1085683 писал(а):

Я думаю, что вам лучше действовать без привлечения производной. Вы всё правильно написали до определённого момента. Если сообразить, что такое равномерная непрерывность и в чём её соль, то доказательство мигом завершится. А упражнение ведь для того и дано, чтобы вы осваивались с понятием равномерной непрерывности.

Вот у вас получилось выражение: $|1-e^{x_1-x_2}|$. Обратите внимание: если $|x_1-x_2|$ мало, то $e^{x_1-x_2}$ близко к $1$, а значит, $|1-e^{x_1-x_2}|$ близко к 0. И вот ключевой момент: это выражение зависит только от разности $|x_1-x_2|$, но не зависит от того, в каком месте вещественной прямой находятся точки $x_1, x_2$. То есть, скажем, при $x_1 = 1$, $x_2 = 1.001$ получается то же самое, что при $x_1 = 100500$, $x_2 = 100500.001$. Это вот как раз к равномерной непрерывности.

Тогда, я думаю, могу положить $|x_1-x_2|<\frac{\varepsilon}{2}$ и тогда $\delta=\frac{\varepsilon}{2}$

[popolznev]

-Sofiko- в сообщении #1085740 писал(а):

Тогда, я думаю, могу положить...

Если вы можете аккуратно обосновать это "я думаю", то всё чики-поки. Но я ещё раз на всякий случай выделю ключевую мысль: тут главное, что эта дельта зависит только от $\varepsilon$, но не зависит от $x$. В этом и заключается смысл равномерной непрерывности.