О единственности множества целых чисел

[alex_dorin]

Единственно ли множество целых чисел в аксиоматических теориях ?
Где-то читал, что Н.Н. Лузин допускал такое.

[Someone]

Нет.

[INGELRII]

Ну если мы попытаемся найти альтернативную версию множества целых чисел, то там все равно будет некий элемент $O$ такой что для любого $a: a+O=a$. Назовем такой элемент $O$ нулем и в дальнейшем будем обозначать как $0$. Далее, должен бы найтись такой элемент $I$, что $I>0$ и при этом для любого $a$ неверно $0<a<I$. Назовем такой элемент $I$ единицей и в дальнейшем будем обозначать как $1$. Ну а дальше к нулю прибавляем единицу $n$ раз и получаем то, что можно назвать целым положительным числом $n$; либо вычитаем из нуля единицу $m$ раз, и получаем то, что назовем целым отрицательным числом $-m$. То есть ничего, кроме нашего всеми любимого и почитаемого $\mathbb{Z}$ не получается.

Если все-таки хочется именно альтернативы, то можно либо отказаться от существования нуля, либо от отношения линейной упорядоченности, либо от существования минимального числа, большего нуля. Тогда что-то и выйдет построить, вот только целыми числами оно уже не будет.

И если я неправ (что возможно), то прошу указать, где.

[Someone]

Не надо ни от чего отказываться. В частности, все аксиомы арифметики Пеано первого порядка сохраняются. Но у этой теории много нестандартных моделей.

[alex_dorin]

Верно ли я понял, что ,например, к аксиомам Пеано можно без противоречий присоединить утверждение или о единственности множества целых чисел или отрицание этого утверждения ?

[Someone]

А это утверждение в языке арифметики первого порядка и сформулировать-то невозможно.

[alex_dorin]

В усеченной аксиоматике Пеано, без аксиомы индукции , это ,я думаю, возможно.

[arseniiv]

Тут картина вот какая. Вы пишете довольно короткие посты, которые не содержат всех нужных подробностей ни чтобы ваши вопросы были достаточно точными, ни чтобы ваши следующие на (порой полученные угадыванием того, о чём мог быть и о чём не мог быть такой частично описанный вопрос) ответы на них ответы были также достаточно точными, чтобы можно было вообще о чём-то говорить и сопоставлять им какие-то строгие математические утверждения.

Может, стоит побольше времени внимания выделять на написание своих сообщений по интересующей вас теме? (И пунктуацию в это время править тоже.)

[Someone]

alex_dorin в сообщении #1085697 писал(а):

В усеченной аксиоматике Пеано, без аксиомы индукции , это ,я думаю, возможно.

Конкретный набор аксиом не имеет никакого значения. Тем более, что удаление аксиом увеличивает количество возможных моделей.