Ну если мы попытаемся найти альтернативную версию множества целых чисел, то там все равно будет некий элемент

такой что для любого

. Назовем такой элемент

нулем и в дальнейшем будем обозначать как

. Далее, должен бы найтись такой элемент

, что

и при этом для любого

неверно

. Назовем такой элемент

единицей и в дальнейшем будем обозначать как

. Ну а дальше к нулю прибавляем единицу

раз и получаем то, что можно назвать целым положительным числом

; либо вычитаем из нуля единицу

раз, и получаем то, что назовем целым отрицательным числом

. То есть ничего, кроме нашего всеми любимого и почитаемого

не получается.
Если все-таки хочется именно альтернативы, то можно либо отказаться от существования нуля, либо от отношения линейной упорядоченности, либо от существования минимального числа, большего нуля. Тогда что-то и выйдет построить, вот только целыми числами оно уже не будет.
И если я неправ (что возможно), то прошу указать, где.