Сонантометрия или алгебра музыкальной гармонии.

[commator]

commator в сообщении #1083779 писал(а):

сосредоточиться на множестве высотных ощущений и заметить, что вертикали похожи на детские пирамидки, с одинаковыми наборами дисков,

$\left\{ \begin{matrix} \mathrm{:2T}~~~~_\varnothing\\ ~\mathrm{:D}~~~~_\varnothing\\ ~\mathrm{:T}~~~~_\varnothing\\ ~:\varnothing~~~~_\varnothing\\ \end{matrix} \right\}$

нанизанных в одинаковом порядке на неодинаковые стержни, различаемые по сонантам множества $\left\lbrace:\varnothing_\varnothing~:\varnothing\mathrm{t}~:\varnothing\mathrm{d}~:\varnothing\mathrm{2t}\right\rbrace$ нижайших высот вертикалей:

$\left\{ \begin{matrix} \mathrm{:2T}_\varnothing& & & \\ \mathrm{:D}_\varnothing & & & \\ \mathrm{:T}_\varnothing &\mathrm{:2T}\mathrm{t}& & \\ &~\mathrm{:D}\mathrm{t}& & \\ & &\mathrm{:2T}\mathrm{d}& \\ :\varnothing_\varnothing &~\mathrm{:T}\mathrm{t}&~\mathrm{:D}\mathrm{d}&\mathrm{:2T}\mathrm{2t}\\ & & &\mathrm{:D}\mathrm{2t}\\ & &~\mathrm{:T}\mathrm{d}& \\ &~:\varnothing\mathrm{t} & &\mathrm{:T}\mathrm{2t}\\ & &~:\varnothing\mathrm{d} & \\ & & &:\varnothing\mathrm{2t} \end{matrix} \right\}\to\left\{ \begin{matrix} \mathrm{:2T}\varnothing_\varnothing_\varnothing& & & \\ ~\mathrm{:D}\varnothing_\varnothing_\varnothing & & & \\ ~\mathrm{:T}\varnothing_\varnothing_\varnothing &\mathrm{:2T}\varnothing\mathrm{t}_\varnothing& & \\ &~\mathrm{:D}\varnothing\mathrm{t}_\varnothing & & \\ & &\mathrm{:2T}\varnothing\mathrm{d}_\varnothing& \\ ~:\varnothing\varnothing_\varnothing_\varnothing &~\mathrm{:T}\varnothing\mathrm{t}_\varnothing &~\mathrm{:D}\varnothing\mathrm{d}_\varnothing&\mathrm{:2T}\varnothing\mathrm{2t}_\varnothing\\ & & &~\mathrm{:D}\varnothing\mathrm{2t}_\varnothing\\ & &~\mathrm{:T}\varnothing\mathrm{d}_\varnothing& \\ \varnothing\varnothing\mathrm{t}~_\varnothing& & &~\mathrm{:T}\varnothing\mathrm{2t}_\varnothing\\ & &~:\varnothing\varnothing\mathrm{d}_\varnothing& \\ & & &~:\varnothing\varnothing\mathrm{2t}_\varnothing \end{matrix} \right\}$

Перекладка нисходящей унтеральной ска́лы для получения восходящей:

$\left\{ \begin{matrix} \mathrm{:2T}\varnothing_\varnothing_\varnothing& & & \\ ~\mathrm{:D}\varnothing_\varnothing_\varnothing & & & \\ ~\mathrm{:T}\varnothing_\varnothing_\varnothing &\mathrm{:2T}\varnothing\mathrm{t}_\varnothing& & \\ &~\mathrm{:D}\varnothing\mathrm{t}_\varnothing & & \\ & &\mathrm{:2T}\varnothing\mathrm{d}_\varnothing& \\ ~:\varnothing\varnothing_\varnothing_\varnothing &~\mathrm{:T}\varnothing\mathrm{t}_\varnothing &~\mathrm{:D}\varnothing\mathrm{d}_\varnothing&\mathrm{:2T}\varnothing\mathrm{2t}_\varnothing\\ & & &~\mathrm{:D}\varnothing\mathrm{2t}_\varnothing\\ & &~\mathrm{:T}\varnothing\mathrm{d}_\varnothing& \\ &~:\varnothing\varnothing\mathrm{t}_\varnothing & &~\mathrm{:T}\varnothing\mathrm{2t}_\varnothing\\ & &~:\varnothing\varnothing\mathrm{d}_\varnothing& \\ & & &~:\varnothing\varnothing\mathrm{2t}_\varnothing \end{matrix} \right\}\to\left\{ \begin{matrix} & & &\mathrm{:2T}\varnothing_\varnothing_\varnothing~\\ &&\mathrm{:D}\varnothing_\varnothing_\varnothing~& \\ &\mathrm{:T}\varnothing_\varnothing_\varnothing~ & &\mathrm{:2T}\varnothing\mathrm{t}_\varnothing~\\ & &\mathrm{:D}\varnothing\mathrm{t}_\varnothing~~& \\ & & &\mathrm{:2T}\varnothing\mathrm{d}_\varnothing~ \\ :\varnothing\varnothing_\varnothing_\varnothing~&\mathrm{:T}\varnothing\mathrm{t}_\varnothing~ &\mathrm{:D}\varnothing\mathrm{d}_\varnothing~&\mathrm{:2T}\varnothing\mathrm{2t}_\varnothing\\ & &\mathrm{:D}\varnothing\mathrm{2t}_\varnothing &\\ &\mathrm{:T}\varnothing\mathrm{d}_\varnothing~ && \\ :\varnothing\varnothing\mathrm{t}_\varnothing~&\mathrm{:T}\varnothing\mathrm{2t}_\varnothing & &\\ :\varnothing\varnothing\mathrm{d}_\varnothing~& & & \\ :\varnothing\varnothing\mathrm{2t}\varnothing& & & \end{matrix} \right\}$

Очевидно:

1. По вертикалям нисходящей унтеральной ска́лы равны правые (субсонантные) части, а по вертикалям нисходящей — левые (сонантные).
2. У вертикалей нисходящей унтеральной ска́лы одинаковы левые (сонантные) наборы частей, а у вертикалей нисходящей — правые (субсонантные).

[commator]

Свободный Художник в сообщении #1084150 писал(а):

А вот скала Орфея в нотах у Римана (со связыванием с ее нотами тоники, субдоминанты и доминанты): http://www.px-pict.com/7/3/2/9/1/2/1/6/1.html

commator в сообщении #1084593 писал(а):

commator в сообщении #1084273 писал(а):

Для чёткой нотации нужны уточнения и у меня к текущему моменту они определились так:

                       ┌──── θ-e1:Tt — пифагорейской категории высот ми-первой-октавы:тонант субтонанта  
                       │
                       │
                ┌─ θ-b0:D2t — пифагорейской категории высот cи-малой-октавы:доминант второго субтонанта
      ┌──── џ-a0:Td — камертонного высотного класса ля-малой-октавы:тонант субдоминанта
      │
      │
  θ-e0:Øt — пифагорейской категории высот ми-малой-октавы:оригинант субтонанта

Надо ещё добавить, что начальный сонант приписан здесь ноте

θ-e1:Øø — пифагорейской категории высот ми-первой-октавы:оригинант суборигинанта.

На рассматриваемой ска́ле сонант :Øø явно не обозначен, но его чёткая нота присутствует и

:Øø, будучи своебразным джокером в играх с восприятием, действует как
:Tt — тонант субтонанта.

commator в сообщении #1084610 писал(а):

Перекладка нисходящей унтеральной ска́лы для получения восходящей:

$\left\{ \begin{matrix} \mathrm{:2T}\varnothing_\varnothing_\varnothing& & & \\ ~\mathrm{:D}\varnothing_\varnothing_\varnothing & & & \\ ~\mathrm{:T}\varnothing_\varnothing_\varnothing &\mathrm{:2T}\varnothing\mathrm{t}_\varnothing& & \\ &~\mathrm{:D}\varnothing\mathrm{t}_\varnothing & & \\ & &\mathrm{:2T}\varnothing\mathrm{d}_\varnothing& \\ ~:\varnothing\varnothing_\varnothing_\varnothing &~\mathrm{:T}\varnothing\mathrm{t}_\varnothing &~\mathrm{:D}\varnothing\mathrm{d}_\varnothing&\mathrm{:2T}\varnothing\mathrm{2t}_\varnothing\\ & & &~\mathrm{:D}\varnothing\mathrm{2t}_\varnothing\\ & &~\mathrm{:T}\varnothing\mathrm{d}_\varnothing& \\ &~:\varnothing\varnothing\mathrm{t}_\varnothing & &~\mathrm{:T}\varnothing\mathrm{2t}_\varnothing\\ & &~:\varnothing\varnothing\mathrm{d}_\varnothing& \\ & & &~:\varnothing\varnothing\mathrm{2t}_\varnothing \end{matrix} \right\}\to\left\{ \begin{matrix} & & &\mathrm{:2T}\varnothing_\varnothing_\varnothing~\\ &&\mathrm{:D}\varnothing_\varnothing_\varnothing~& \\ &\mathrm{:T}\varnothing_\varnothing_\varnothing~ & &\mathrm{:2T}\varnothing\mathrm{t}_\varnothing~\\ & &\mathrm{:D}\varnothing\mathrm{t}_\varnothing~~& \\ & & &\mathrm{:2T}\varnothing\mathrm{d}_\varnothing~ \\ :\varnothing\varnothing_\varnothing_\varnothing~&\mathrm{:T}\varnothing\mathrm{t}_\varnothing~ &\mathrm{:D}\varnothing\mathrm{d}_\varnothing~&\mathrm{:2T}\varnothing\mathrm{2t}_\varnothing\\ & &\mathrm{:D}\varnothing\mathrm{2t}_\varnothing &\\ &\mathrm{:T}\varnothing\mathrm{d}_\varnothing~ && \\ :\varnothing\varnothing\mathrm{t}_\varnothing~&\mathrm{:T}\varnothing\mathrm{2t}_\varnothing & &\\ :\varnothing\varnothing\mathrm{d}_\varnothing~& & & \\ :\varnothing\varnothing\mathrm{2t}_\varnothing& & & \end{matrix} \right\}$

Очевидно:

1. По вертикалям нисходящей унтеральной ска́лы равны правые (субсонантные) части, а по вертикалям нисходящей — левые (сонантные).
2. У вертикалей нисходящей унтеральной ска́лы одинаковы левые (сонантные) наборы частей, а у вертикалей нисходящей — правые (субсонантные).

Теперь сонанты можно приписывать чётким нотам:

$\left\{ \begin{matrix} \theta-e3\mathrm{:2T\varnothing_\varnothing_\varnothing}& & & \\ ~\theta-b2\mathrm{:D\varnothing_\varnothing_\varnothing}& & & \\ ~\theta-e2\mathrm{:T\varnothing_\varnothing_\varnothing}&\theta-e2\mathrm{:2T\varnothing t_\varnothing}& & \\ &~\theta-b1\mathrm{:D\varnothing t_\varnothing}& \\ & &\psi-a1\mathrm{:2T \varnothing d_\varnothing}& \\ ~\theta-e1:\varnothing\varnothing_\varnothing_\varnothing &~\mathfrak{\theta-e1:T\varnothing t_\varnothing}&~\theta-e1\mathrm{:D\varnothing d_\varnothing}&\theta-e1\mathrm{:2T\varnothing 2t_\varnothing}\\ & & &~\mathfrak{\theta-b0:D\varnothing 2t_\varnothing}\\ & &~\mathfrak{\psi-a0:T\varnothing d_\varnothing}& \\ &~\mathfrak{\theta-e0:\varnothing\varnothing t_\varnothing}& &~\theta-e0\mathrm{:T\varnothing 2t_\varnothing}\\ & &~\psi-A0:\varnothing\varnothing\mathrm{d}_\varnothing& \\ & & &~\theta-E0:\varnothing\varnothing\mathrm{2t}_\varnothing \end{matrix} \right\}\to$

$\to\left\{ \begin{matrix} & & &\theta-e3\mathrm{:2T\varnothing_\varnothing_\varnothing}~\\ & &\theta-b2\mathrm{:D\varnothing_\varnothing_\varnothing}~& \\ &\theta-e2\mathrm{:T\varnothing_\varnothing_\varnothing}~ & &\theta-e2\mathrm{:2T\varnothing t_\varnothing}~\\ & &\theta-b1\mathrm{:D\varnothing t_\varnothing}~~& \\ & & &\psi-a1\mathrm{:2T\varnothing d_\varnothing}~ \\ \theta-e1:\varnothing\varnothing_\varnothing_\varnothing~&\mathfrak{\theta-e1:T\varnothing t_\varnothing}~ &\theta-e1\mathrm{:D\varnothing d_\varnothing}~&\theta-e1\mathrm{:2T\varnothing 2t_\varnothing}\\ & &\mathfrak{\theta-b0:D\varnothing 2t_\varnothing} &\\ &\mathfrak{\psi-a0:T\varnothing d_\varnothing}~ && \\ \mathfrak{\theta-e0:\varnothing\varnothing t_\varnothing}~&\theta-e0\mathrm{:T\varnothing 2t_\varnothing}& &\\ \psi-A0:\varnothing\varnothing\mathrm{d}_\varnothing~& & & \\ \theta-E0\mathrm{:\varnothing\varnothing2t_\varnothing}& & & \end{matrix} \right\}$

Вышеупомянутый нотный фрагмент по Риману выписан готическими буквами.

Ноты камертонного высотного класса $A$ предписывают высоты из цепи чётких чистых октав с настроенной по камертону ля-первой октавы и обозначены греческой буквой $\psi$ вместо более похожей на камертон кириллической џ (можно ли употребить кириллические буквы в конструкциях здешних формул, пока не знаю).

Пифагорейской категории высот θ-ноты предписывают высоты из цепей чётких чистых квинт, пересекающихся с высотами џ-нот.

[Свободный Художник]

Я хотел бы попытаться выразить кое-что из того, что Вы пишите, в терминах группоидов Брандта. Отметим, что тетрада связывалась как с числами 1, 2, 3, 4, так и с числами 6, 8, 9, 12:
http://www.px-pict.com/7/3/2/1/4/4.html

Можно начать с чисел 1, 2, 3, 4. Этому случаю соответствует уже обсуждавшийся выше группоид Брандта $\mathbf{R_4}$. Потом его можно расширить, чтобы включить в рассмотрение также числа 6, 8, 9, 12. Пока что я несколько по иному перерисовал таблицу Кэли для группоида $\mathbf{R_4}$:
http://www.px-pict.com/9/6/8/2/2/4.html
(пункт 3а на указанной странице)
Она не дорисована до конца, но понятно, каким образом ее следует продолжить.
От перестановки строк и/или столбцов таблицы Кэли ее смысл не меняется, но при удачной перестановке могут быть боле ясно видны скрытые в ней закономерности.

-- Ср дек 23, 2015 23:36:09 --

Группоиды Брандта не являются такими уж тривиальными алгебраическими системами, как это может показаться на первый взгляд. Ибо, как пишут, например, Клиффорд - Престон, "эта система удовлетворяет некоторым довольно сильным аксиомам". Из которых можно попытаться поизвлекать разные интересные следствия (раз эти аксиомы "сильные").
http://www.px-pict.com/9/5/2/7/1/3.html

В этой связи может быть полезной книга: Сушкевич А. Теория обобщенных групп. Харьков - Киев: ОНТИ, 1937,
на которую ссылаются упомянутые Клиффорд - Престон и которую можно взять здесь:
http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/mat ... lgebra.htm

[commator]

Свободный Художник в сообщении #1085213 писал(а):

Можно начать с чисел 1, 2, 3, 4. Этому случаю соответствует уже обсуждавшийся выше группоид Брандта $\mathbf{R_4}$. Потом его можно расширить, чтобы включить в рассмотрение также числа 6, 8, 9, 12.

Предполагаю, что расширением должна быть додекада $\left\lbrace1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12\right\rbrace.$

[commator]

commator в сообщении #1085292 писал(а):

Свободный Художник в сообщении #1085213 писал(а):

Можно начать с чисел 1, 2, 3, 4. Этому случаю соответствует уже обсуждавшийся выше группоид Брандта $\mathbf{R_4}$. Потом его можно расширить, чтобы включить в рассмотрение также числа 6, 8, 9, 12.

Предполагаю, что расширением должна быть додекада $\left\lbrace1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12\right\rbrace.$

От чисел к сонантометрически чётким нотам, выделяя θ-$d1\mathrm{:\varnothing[1/1]_\varnothing}$ так, что

џ-$A\supset$ џ-$a4\mathrm{:TTD[(2\cdot2\cdot3\equiv12)/1]_\varnothing}=$
$=~\mathrm{:3TD[2^3\cdot3/2]t\leftarrow2^3\cdot0.44kHz}$ [1][2]:

$ \mathrm{N}_1_2\to\mathrm{N}_1_2\times \mathrm{N}_1\to\left\lbrace\begin{matrix} 12/1\\ 11/1\\ 10/1\\ 9/1\\ 8/1\\ 7/1\\ 6/1\\ 5/1\\ 4/1\\ 3/1\\ 2/1\\ 1/1 \end{matrix}\right\rbrace\to\left\lbrace\begin{matrix} ~~~~~\psi-a4\mathrm{:TTD\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~\Phi\alpha,\theta-g4\mathrm{:N\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ \iota\Delta,\theta-fis4\mathrm{:TM\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~~~~\theta-b4\mathrm{:DD\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~~\theta-d4\mathrm{:TTT\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~\rho\mathrm{A},\theta-g3\mathrm{:Q\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~~~\psi-a3\mathrm{:TD\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~\iota\Delta,\theta-fis3\mathrm{:M\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~~~~\theta-d3\mathrm{:TT\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~~~~~~\psi-a2\mathrm{:D\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~~~~~~\theta-d2\mathrm{:T\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~~~~~~\theta-d1\mathrm{:\varnothing\varnothing_\varnothing_\varnothing} \end{matrix}\right\rbrace $


[1]. IEV 1994, standard tuning frequency: http://www.electropedia.org/iev/iev.nsf/display?openform&ievref=801-30-18
[2].

commator в сообщении #1084750 писал(а):

Ноты камертонного высотного класса $A$ предписывают высоты из цепи чётких чистых октав с настроенной по камертону ля-первой октавы и обозначены греческой буквой $\psi$ вместо более похожей на камертон кириллической џ (можно ли употребить кириллические буквы в конструкциях здешних формул, пока не знаю).

Пифагорейской категории высот θ-ноты предписывают высоты из цепей чётких чистых квинт, пересекающихся с высотами џ-нот.

[commator]

commator в сообщении #1085292 писал(а):

Свободный Художник в сообщении #1085213 писал(а):

Можно начать с чисел 1, 2, 3, 4. Этому случаю соответствует уже обсуждавшийся выше группоид Брандта $\mathbf{R_4}$. Потом его можно расширить, чтобы включить в рассмотрение также числа 6, 8, 9, 12.

Предполагаю, что расширением должна быть додекада $\left\lbrace1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12\right\rbrace.$

commator в сообщении #1085370 писал(а):

От чисел к сонантометрически чётким нотам, выделяя θ-$d1\mathrm{:\varnothing[1/1]_\varnothing}$ так, что

џ-$A\supset$ џ-$a4\mathrm{:TTD[(2\cdot2\cdot3\equiv12)/1]_\varnothing}=$
$=~\mathrm{:3TD[2^3\cdot3/2]t\leftarrow2^3\cdot0.44kHz}$ [1][2]:

$ \mathrm{N}_1_2\to\mathrm{N}_1_2\times \mathrm{N}_1\to\left\lbrace\begin{matrix} 12/1\\ 11/1\\ 10/1\\ 9/1\\ 8/1\\ 7/1\\ 6/1\\ 5/1\\ 4/1\\ 3/1\\ 2/1\\ 1/1 \end{matrix}\right\rbrace\to\left\lbrace\begin{matrix} ~~~~~\psi-a4\mathrm{:TTD\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~\Phi\alpha,\theta-g4\mathrm{:N\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ \iota\Delta,\theta-fis4\mathrm{:TM\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~~~~\theta-e4\mathrm{:DD\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~~\theta-d4\mathrm{:TTT\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~\rho\mathrm{A},\theta-c4\mathrm{:Q\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~~~\psi-a3\mathrm{:TD\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~\iota\Delta,\theta-fis3\mathrm{:M\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~~~~\theta-d3\mathrm{:TT\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~~~~~~\psi-a2\mathrm{:D\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~~~~~~\theta-d2\mathrm{:T\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~~~~~~\theta-d1\mathrm{:\varnothing\varnothing_\varnothing_\varnothing} \end{matrix}\right\rbrace $ [3]

commator в сообщении #1085370 писал(а):

[1]. IEV 1994, standard tuning frequency: http://www.electropedia.org/iev/iev.nsf/display?openform&ievref=801-30-18
[2].

commator в сообщении #1084750 писал(а):

Ноты камертонного высотного класса $A$ предписывают высоты из цепи чётких чистых октав с настроенной по камертону ля-первой октавы и обозначены греческой буквой $\psi$ вместо более похожей на камертон кириллической џ (можно ли употребить кириллические буквы в конструкциях здешних формул, пока не знаю).

Пифагорейской категории высот θ-ноты предписывают высоты из цепей чётких чистых квинт, пересекающихся с высотами џ-нот.

[3]. Были ошибки в именах нот четвёртой октавы. Исправлены.

[commator]

commator в сообщении #1085564 писал(а):

$ \mathrm{N}_1_2\to\mathrm{N}_1_2\times \mathrm{N}_1\to\left\lbrace\begin{matrix} 12/1\\ 11/1\\ 10/1\\ 9/1\\ 8/1\\ 7/1\\ 6/1\\ 5/1\\ 4/1\\ 3/1\\ 2/1\\ 1/1 \end{matrix}\right\rbrace\to\left\lbrace\begin{matrix} ~~~~~\psi-a4\mathrm{:TTD\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~\Phi\alpha,\theta-g4\mathrm{:N\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ \iota\Delta,\theta-fis4\mathrm{:TM\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~~~~\theta-e4\mathrm{:DD\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~~\theta-d4\mathrm{:TTT\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~\rho\mathrm{A},\theta-c4\mathrm{:Q\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~~~\psi-a3\mathrm{:TD\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~\iota\Delta,\theta-fis3\mathrm{:M\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~~~~\theta-d3\mathrm{:TT\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~~~~~~\psi-a2\mathrm{:D\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~~~~~~\theta-d2\mathrm{:T\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~~~~~~\theta-d1\mathrm{:\varnothing\varnothing_\varnothing_\varnothing} \end{matrix}\right\rbrace $

Разделение нот на пифагорейские и прочие:

$ \left\lbrace\begin{matrix} ~~~~~\psi-a4\mathrm{:TTD\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~\Phi\alpha,\theta-g4\mathrm{:N\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ \iota\Delta,\theta-fis4\mathrm{:TM\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~~~~\theta-e4\mathrm{:DD\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~~\theta-d4\mathrm{:TTT\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~\rho\mathrm{A},\theta-c4\mathrm{:Q\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~~~\psi-a3\mathrm{:TD\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~\iota\Delta,\theta-fis3\mathrm{:M\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~~~~\theta-d3\mathrm{:TT\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~~~~~~\psi-a2\mathrm{:D\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~~~~~~\theta-d2\mathrm{:T\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~~~~~~\theta-d1\mathrm{:\varnothing\varnothing_\varnothing_\varnothing} \end{matrix}\right\rbrace=\left\lbrace\begin{matrix} \psi-a4\mathrm{:TTD\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~\theta-e4\mathrm{:DD\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~\theta-d4\mathrm{:TTT\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~\psi-a3\mathrm{:TD\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~\theta-d3\mathrm{:TT\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~\psi-a2\mathrm{:D\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~\theta-d2\mathrm{:T\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~\theta-d1\mathrm{:\varnothing\varnothing_\varnothing_\varnothing} \end{matrix}\right\rbrace\cup\left\lbrace\begin{matrix} ~~~~~\Phi\alpha,\theta-g4\mathrm{:N\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ \iota\Delta,\theta-fis4\mathrm{:TM\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~\rho\mathrm{A},\theta-c4\mathrm{:Q\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~\iota\Delta,\theta-fis3\mathrm{:M\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ \end{matrix}\right\rbrace $.

Разделение пифагорейских нот на тетрады:

$ \left\lbrace\begin{matrix} \psi-a4\mathrm{:TTD\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~\theta-e4\mathrm{:DD\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~\theta-d4\mathrm{:TTT\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~\psi-a3\mathrm{:TD\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~\theta-d3\mathrm{:TT\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~\psi-a2\mathrm{:D\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~\theta-d2\mathrm{:T\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~~~\theta-d1\mathrm{:\varnothing\varnothing_\varnothing_\varnothing} \end{matrix}\right\rbrace=\left\lbrace\begin{matrix} \theta-d3\mathrm{:TT\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~\psi-a2\mathrm{:D\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~\theta-d2\mathrm{:T\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~\theta-d1\mathrm{:\varnothing\varnothing_\varnothing_\varnothing} \end{matrix}\right\rbrace\cup\right\rbrace\left\lbrace\begin{matrix} \psi-a4\mathrm{:TTD\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~~\theta-e4\mathrm{:DD\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~\theta-d4\mathrm{:TTT\varnothing_\varnothing_\varnothing}\\ ~~\psi-a3\mathrm{:TD\varnothing_\varnothing_\varnothing} \end{matrix}\right\rbrace $.

Возврат к числам показывает:

$ \left\lbrace\begin{matrix} 12/1\\ 9/1\\ 8/1\\ 6/1\\ 4/1\\ 3/1\\ 2/1\\ 1/1 \end{matrix}\right\rbrace=\left\lbrace\begin{matrix} 4/1\\ 3/1\\ 2/1\\ 1/1 \end{matrix}\right\rbrace\cup\right\rbrace\left\lbrace\begin{matrix} 12/1\\ 9/1\\ 8/1\\ 6/1 \end{matrix}\right\rbrace $.

[commator]

Свободный Художник в сообщении #990824 писал(а):

Понятие "питча" трактуется неоднозначно. У нас была дискуссия по этому поводу: http://www.forumklassika.ru/showthread.php?t=83973

В той дискуссии не привлекалось международное определение, где

IEV 1994 писал(а):

Высота

тот признак слухового ощущения в рамках которого звуки могут быть упорядочены по ска́ле, простирающейся от низкого до высокого

Замечание 1 — Высота сложной волны в первую очередь зависит от частотного содержимого стимула, но она также зависит от звукового давления и формы волны.

Замечание 2 — Высота звука может быть описана частотой того чистого тона, имеющего заданный уровень звукового давления, что оценивается через испытуемых производящим такую же высоту.

(Английский)

pitch

that attribute of auditory sensation in terms of which sounds may be ordered on a scale extending from low to high

Note 1 — The pitch of a complex wave depends primarily upon the frequency content of the stimulus, but it also depends upon the sound pressure and the waveform.

Note 2 — The pitch of a sound may be described by the frequency of that pure tone having a specified sound pressure level that is judged by subjects to produce the same pitch.

На мой взгляд однозначно указано, что высота не есть частота, но через оценки испытуемых может быть описана частотой, откуда и выясняется, как высота от частоты зависит.

[Свободный Художник]

commator в сообщении #1085292 писал(а):

Свободный Художник в сообщении #1085213 писал(а):

Можно начать с чисел 1, 2, 3, 4. Этому случаю соответствует уже обсуждавшийся выше группоид Брандта $\mathbf{R_4}$. Потом его можно расширить, чтобы включить в рассмотрение также числа 6, 8, 9, 12.

Предполагаю, что расширением должна быть додекада $\left\lbrace1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12\right\rbrace.$

Это наиболее очевидное решение. В основе этой системы будет лежать группоид Брандта $\mathbf{R_{12}}$. На мой взгляд, более экономным и по своему тоже интересным решением будет также система $\left\lbrace1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12\right\rbrace.$

[commator]

Свободный Художник в сообщении #1086611 писал(а):

На мой взгляд, более экономным и по своему тоже интересным решением будет также система $\left\lbrace1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12\right\rbrace.$

Будут исключены все непифагорейские звуковысотности, а они есть в действительности и требуют внимания.

[Свободный Художник]

Нам не следует упускать из виду также контекст, в котором появилось понятие группоида Брандта. Информацию об этом можно почерпнуть из шестой главы книги Джекобсон Н. Теория колец. М.: ИЛ, 1947, оглавление которой можно посмотреть здесь:
http://www.nehudlit.ru/books/detail5614.html
а саму книгу можно взять тут:
http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/mat ... lgebra.htm

Лично для меня изложенная в этой главе мультипликативная теория идеалов интересна своими связями с релевантной логикой:

Свободный Художник в сообщении #1053173 писал(а):

Свободный Художник в сообщении #1051690 писал(а):

Отправляясь от этого отношения измеримости (являющегося некоторым частичным порядком), при помощи стандартной методологии определим необходимые решетчатые операции:
http://www.px-pict.com/9/5/5/1/1/1.html

Свободный Художник в сообщении #1047526 писал(а):

Отправной точкой здесь будет тот факт, что как мультипликативная группа всех положительных рациональных чисел, так и всевозможные ЧИПы, все являются решетчато-упорядоченными группами:
http://www.px-pict.com/9/5/2/6/1/1/2/3.html

Относительно Примера 5 по указанной выше ссылке отметим следующий факт: операции умножения и деления идеалов, введенные Р. Дедекиндом:
http://www.px-pict.com/7/3/1/15/2/2/3/8.html

по некоторым своим формальным свойствам напоминают операции умножения и деления в моноидах де Моргана, которые используются при построении алгебраической семантики для логик "релевантной импликации". Определение моноидов де Моргана можно посмотреть, например, здесь:
http://www.dcs.bbk.ac.uk/~szabolcs/arrl-pre.pdf
(раздел 2.1 в указаной статье)
"Семантический двойник" релевантной импликации интерпретируется как некоторая операция деления.

-- Пн дек 28, 2015 23:53:03 --

commator в сообщении #1086614 писал(а):

Свободный Художник в сообщении #1086611 писал(а):

На мой взгляд, более экономным и по своему тоже интересным решением будет также система $\left\lbrace1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12\right\rbrace.$

Будут исключены все непифагорейские звуковысотности, а они есть в действительности и требуют внимания.

Вовсе не настаиваю категорически на указанной мною возможности. Это только лишь одна из возможностей. Но все же интересная с определенной точки зрения.

[commator]

Свободный Художник в сообщении #1086617 писал(а):

Вовсе не настаиваю категорически на указанной мною возможности. Это только лишь одна из возможностей. Но все же интересная с определенной точки зрения.

Когда доберёмся до икосады

$\mathrm{N_2_0}=\left\lbrace1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20\right\rbrace$,

сможете в ней усмотреть нечто Вам интересное?

[commator]

commator в сообщении #1081263 писал(а):

указано, что Рамо был отцом тональной функции доминанта и унарной операции обращения доминанты в субдоминанту.

Потом дело дошло до теории тональных функций, а введение в неё начиналось так:

$\begin{tabular}{|{l}|{l}|{l}|} \hline \text{Riemann by Translator 1896} &\text{Риман по Энгелю 1901} &\text{Мои комментарии 2015}\\ \hline \text{} &\text{} &\text{}\\ \text{INTRODUCTION.} &\textbf{Введеніе} & \\ \text{} &\text{} &\text{}\\ \hline \textit{The Theory of Harmony is that}&\textbf{Гармонія}\textit{учитъ насъ логически}&\text{Гармония есть теория}\\ \textit{of the logically rational and} &\textit{осмысленному и технически} &\text{логически разумного и}\\ \textit{technically correct connection}&\textit{правильному связыванію} &\text{технически правильного}\\ \textit{of chords} &\textit{аккордовъ*).} &\text{соединения аккордов.}\\ \hline \text{} &\text{*) Въ русскомъ языкћ} &\text{Помимо науки словом}\\ \text{} &\text{слово \textit{гармонія} приходится} &\text{гармония называют по- }\\ \text{} &\text{употреблять для обозначенія: } &\text{русски и совокупность}\\ \text{} &\text{І) науки гармоніи (Harmonielehre),} &\text{аккордов и отдельный}\\ \text{} &\text{2)совокупности аккордовъ} &\text{аккорд.}\\ \text{} &\text{извћстнаго строя, наклоненія} &\text{}\\ \text{} &\text{и т. п. (Harmonik) и} &\text{}\\ \text{} &\text{3) отдћльнаго аккорда (Harmonie).} &\text{}\\ \text{} &\textit{Прим. пер.} &\text{}\\ \hline \text{(the simultaneous sounding of} &\text{(Аккордомъ называется} &\text{Аккорд есть множество}\\ \text{several notes of different} &\tex{ соединеніе нћсколькихъ } &\text{высот из вертикального}\\ \text{pitch).} &\text{одновременно звучащихъ} &\text{сечения партитуры в}\\ \text{} &\text{ тоновъ**) различной высоты} &\text{заданный момент}\\ \text{} &\text{} &\text{времени многоголосия.}\\ \hline \text{} &\text{**) Тономъ (ton) мы будемъ} &\text{Словом \textit{тон} именуется}\\ \text{} &\text{называть каждый изъ образую-} &\text{либо каждый звук}\\ \text{} &\text{щихъ аккордъ (созвукъ) звуковъ.} &\text{вертикали, либо}\\ \text{} &~~\text{Это-же слово будетъ у насъ} &\text{интервал большой}\\ \text{} &\text{обозначать и интервалъ большой} &\text{секунды.}\\ \text{} &\text{секунды, но отнюдь не заменять} &\text{}\\ \text{} &\text{слова \textit{строй, тональность} } &\text{}\\ \text{} &\text{и т. п., какъ это делается, по} &\text{}\\ \text{} &\text{примеру старины, еще и въ наше} &\text{}\\ \text{} &\text{время.}~~\textit{Прим. пер.} &\text{}\\ \hline \end{tabular}$
$\begin{tabular}{|{l}|{l}|{l}|} \hline \text{The natural laws for such } &\text{Изслћдованіе естественныхъ} &\text{Только если}\\ \text{connection can be indicated} &\text{законовъ такого связыванія} &\text{последования аккордов}~~\\ \text{with certainty only if the notes}~~&\text{только тогда можетъ считаться} &\text{являются результатом}\\ \text{of single chords be regarded} &\text{надежнымъ, если мы станемъ} &\text{одновременного}\\ \text{not as isolated phenomena,} &\text{разсматривать тоны отдћльныхъ}~~ &\text{движения нескольких}\\ \text{but rather as resulting from} &\text{аккордовъ не какъ} &\text{мелодий, изучение}\\ \text{the motions of the parts;} &\text{изолированныя случайныћ} &\text{природных основ}\\ \textit{chord successions arise from}&\text{явленія, а наоборотъ, какъ} &\text{горизонтального}\\ \textit{simultaneous melodic motion}&\text{слћдствія движенія голосовъ;} &\text{соединения вертикалей}\\ \textit{of several parts.} &\textit{послћдованія аккордовъ:}~\text{съ этой}&\text{считается надёжным.}\\ \text{} &\text{точки зрћнія,}~textit{являются} &\text{}\\ \text{} &\textit{результатомъ одновременнаго} &\text{}\\ \text{} &\textit{мелодическаго движенія} &\text{}\\ \text{} &\textit{нћсколькихъ голосовъ.} &\text{}\\ \hline \text{The history of music teaches} &\text{Изъ исторіи музыки мы знаемъ,} &\text{Начало у гармонии от}\\ \text{us that simultaneous melodic} &\text{что одновременное} &\text{мелодики: как наука о}\\ \text{progression in several parts} &\text{мелодическое веденіе} &\text{вертикалях много-}\\ \text{was practised and more and} &\text{нћсколькихъ голосовъ} &\text{голосия, гармония}\\ \text{more perfected for centuries} &\text{применялось и постепенно} &\text{развивалась столетиями}\\ \text{before the idea of \textit{harmony} in}&\text{совершенствовалось въ теченіе}&\text{из практики сочетания}\\ \text{the modern sense (chord) was} &\text{цћлыхъ столћтій прежде чћмъ,} &\text{горизонталей.}\\ \text{even conceived. Thus} &\text{наконецъ, было установлено} &\text{}\\ \text{harmony, in so far as it may} &\text{понятіе о гармоніи въ} &\text{}\\ \text{be defined as composition in} &\text{теперешнемъ ея смысле (т. е.} &\text{}\\ \text{several parts (polyphony),} &\text{въ связи съ понятіемъ} &\text{}\\ \text{takes root}~\textit{in melody.} &\text{аккорда). Такимъ образомъ,} &\text{}\\ \text{} &\text{гармонія, — посколько мы} &\text{}\\ \text{} &\text{опредћляемъ ее какъ ученіе о} &\text{}\\ \text{} &\text{многоголосіи —}~\textit{ведетъ свое}&\text{}\\ \text{} &\textit{начало отъ мелодики.} &\text{}\\ \text{} &\textit{нћсколькихъ голосовъ.} &\text{}\\ \hline \end{tabular}$
$\begin{tabular}{|{l}|{l}|{l}|} \hline \text{Melody}~\textit{is the logically rational} &\textbf{Мелодіей}~\textit{мы называемъ} &\text{Мелодия должна}\\ \textit{and aesthetically satisfactory} &\textit{логически осмысленное и эсте-} &\text{ощущаться движением}~~~\\ \textit{motion of a part through notes} &\textit{тически удовлетворяющее дви-} &\text{голоса в пространстве}\\ \textit{of different pitch}\text{. With regard} &\textit{женіе голоса по тонамъ различ-}~~ &\text{высот и эстетично}\\ \text{to the aesthetic laws for melody} &\textit{ной высоты}\text{. Эстетическіе} &\text{передавать разумную}\\ \text{formation, we refer the student} &\text{законы образованія мелодій} &\text{логику.}\\ \text{to the philosophy of music(\textit{cf}.} &\text{разсматриваются въ философіи} &\text{}\\ \text{the author's \textit{Catechism of}} &\text{музыки [ср. \textit{Катехизисъ}} &\text{}\\ \textit{Musical AEsthetics}~\text{[}\textit{Wie horen}&\textit{музыкальной эстетики}~\text{(}\textit{Как}&\text{}\\ \text{\textit{wir Music}]).} &\textit{мы слушаемъ музыку}\text{)]*);} &\text{}\\ \hline \text{} &\text{*)}~\textit{Katechismus der Musik-Aestetik} &\text{}\\ \text{} &\text{von H. Riemann.} &\text{}\\ \hline \text{As the foundation of rational} &\text{что-же касается логически-} &\text{Диатоническая ск\textbf{а}ла}\\ \text{motion in melody common to } &\text{разумнаго движенія мелодіи, то} &\text{объявлена всеобщей и }\\ \text{all ages and all races, the} &\text{основой его, какъ тому учитъ} &\text{разумной основой}\\ \text{history of music suggests the} &\text{насъ исторія музыки, является} &\text{логики мелодического}\\ \textit{diatonic scale}\text{, the}~\textit{simple step}&\text{общая всемъ векамъ и народамъ}&\text{движения.}\\ \textit{succession of the natural} &\textit{діатоническая гамма, — простое}&\text{}\\ \textit{notes}\text{ of our present note} &\textit{поступенное послћдованіе} &\text{}\\ \text{system:} &\textit{коренныхъ (первичныхъ)} &\text{}\\ \text{} &\textit{тоновъ нашей теперешней} &\text{}\\ \text{} &\textit{звуковой системы:} &\text{}\\ \hline \end{tabular}$

$\leftarrow\mathrm{A~.~B\underbrace{~.~}_{1/2}c\overbrace{~.~d~.~}^{2}e\underbrace{~.~}_{1/2}f\overbrace{~.~g~.~a~.~}^{3}b\underbrace{~.~}_{1/2}c'\overbrace{~.~d'~.~}^{2}e'\underbrace{~.~}_{1/2}f'~\dots}\rightarrow$

[Свободный Художник]

Свободный Художник в сообщении #1086611 писал(а):

commator в сообщении #1085292 писал(а):

Свободный Художник в сообщении #1085213 писал(а):

Можно начать с чисел 1, 2, 3, 4. Этому случаю соответствует уже обсуждавшийся выше группоид Брандта $\mathbf{R_4}$. Потом его можно расширить, чтобы включить в рассмотрение также числа 6, 8, 9, 12.

Предполагаю, что расширением должна быть додекада $\left\lbrace1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12\right\rbrace.$

Это наиболее очевидное решение. В основе этой системы будет лежать группоид Брандта $\mathbf{R_{12}}$...

Нарисовал для него "background":
http://www.px-pict.com/9/6/8/2/2/4/1.html

Свободный Художник в сообщении #1085213 писал(а):

Я хотел бы попытаться выразить кое-что из того, что Вы пишите, в терминах группоидов Брандта. Отметим, что тетрада связывалась как с числами 1, 2, 3, 4, так и с числами 6, 8, 9, 12:
http://www.px-pict.com/7/3/2/1/4/4.html

Можно начать с чисел 1, 2, 3, 4. Этому случаю соответствует уже обсуждавшийся выше группоид Брандта $\mathbf{R_4}$. Потом его можно расширить, чтобы включить в рассмотрение также числа 6, 8, 9, 12. Пока что я несколько по иному перерисовал таблицу Кэли для группоида $\mathbf{R_4}$:
http://www.px-pict.com/9/6/8/2/2/4.html
(пункт 3а на указанной странице)
Она не дорисована до конца, но понятно, каким образом ее следует продолжить.
От перестановки строк и/или столбцов таблицы Кэли ее смысл не меняется, но при удачной перестановке могут быть боле ясно видны скрытые в ней закономерности.

Дорисовал до конца таблицу Кэли для группоида Брандта $\mathbf{R_4}$:
http://www.px-pict.com/9/6/8/2/2/4.html
(пункт 3а на указанной странице)

-- Вт дек 29, 2015 23:34:32 --

Отметим, что группоиды Брандта $\mathbf{R_n}$ являются замкнутыми не только относительно частичной бинарной группоидной операции "составления" упорядоченных пар натуральных чисел, но и относительно всюду определенной операции $N$ "обращения", а также относительно частичных бинарных операций, обратных к операции $\bullet$ "горизонтального соединения" и к операции $\circ$ "вертикального соединения", соответственно. А также они замкнуты еще относительно частичных унарных операций, обратных к операциям $H$ и $V$, соответственно.
Упомянутые операции над упорядоченными парами натуральных чисел были определены здесь:
http://www.px-pict.com/9/6/8/2/2/3.html

[commator]

Свободный Художник в сообщении #1086891 писал(а):

Отметим, что группоиды Брандта $\mathbf{R_n}$ являются замкнутыми не только относительно частичной бинарной группоидной операции "составления" упорядоченных пар натуральных чисел, но и относительно всюду определенной операции $N$ "обращения"

Можно ли это продемонстрировать подробно до очевидности?