геодезическая

[greg2]

Почему наикратчайшее расстояние между двумя точками на поверхности в $\mathbb{R}^n$ это кривая $\gamma (t)$, у которой $\ddot{\gamma}(t)=0$? Как это доказывается?

[B@R5uk]

greg2 в сообщении #1085137 писал(а):

это кривая $\gamma (t)$, у которой $\ddot{\gamma}(t)=0$

У вас гамма — это что за величина? А как задана поверхность?

greg2 в сообщении #1085137 писал(а):

Как это доказывается?

А что вы знаете про расстояние между двумя бесконечно близкими точками?

[greg2]

Гамма - параметризация некоторой кривой на поверхности в $\mathbb{R}^n$. Ну, бесконечно близкое расстояние между двумя точками можно апроксимировать как прямую в касательном пространстве в одной из этих точек, если вы об этом.

[B@R5uk]

Расстояние — это число, а прямая — геометрический объект. Одно другим никак нельзя аппроксимировать. И вы пропустили один вопрос.

[greg2]

Ну, я имел в виду длинну этой прямой, конечно, если говорить о расстоянии.

Ну поверхность пусть задана параметрически. Для упрощения пусть это будет $\rho(w,s)=(x(w,s),y(w,s))$, то есть в трехмерном евклидовском пространстве.

[B@R5uk]

Так всё-таки, гамма — это вектор параметров поверхности или же вектор точки в пространстве, где поверхность задана?

А, впрочем, не важно. Либо вы не договариваете большую часть постановки задачи, либо ваше утверждение на счёт равенства второй производной нулю не верно.

[greg2]

Так, я действительно кое-что пропустил, очень извиняюсь. Не вторая производная должна равняться нулю, а ПРОЕКЦИЯ вектора второй производной на касательное пространство к поверхности в данной точке должно равняться нулю (то есть проекция - нулевой вектор).

-- 23.12.2015, 21:45 --

Хочу ещё предупредить - это не задача, решение которой я пытаюсь свалить на кого-то другого здесь, а кусок из книжки, который там преподносится как тривиальный и в котором я хочу просто разобраться.

[B@R5uk]

Авторов, название книги, год издания, страницу бы привели.

[greg2]

http://www.maths.ed.ac.uk/~aar/papers/leeriemm.pdf

65 страница, первый абзац

[B@R5uk]

На 65-ой странице начинается новая глава Riemannian Geodesics. В первых двух абзацах дают краткий обзор большого плана, который будет осуществляться в течении всей этой главы. Там нет ни слова про производную.

[greg2]

48 страница книжки*

65 была страницей документа в ридере

[Otta]

greg2 в сообщении #1085137 писал(а):

$\ddot{\gamma}(t)=0$

И где Вы там увидели это?

[greg2]

Otta в сообщении #1085298 писал(а):

greg2 в сообщении #1085137 писал(а):

$\ddot{\gamma}(t)=0$

И где Вы там увидели это?

Исправился выше, там речь о проекции. Но мне все равно непонятно почему это тривиально

[Otta]

Если более-менее строго - это к любому учебнику дифф. геом., и вполне можно самостоятельно, имхо. Необязательно начинать с англоязычных. Например, Погорелов.

Если на пальцах, то примерно так: когда все ускорение ушло в нормальное, это в точности означает, что сила, действующая на тело, грубо говоря, совпадает с реакцией опоры, стало быть, иные внешние воздействия отсутствуют и тело движется по кривой исключительно по инерции. Расстояние, пройденное при этом, будет меньше, чем если бы присутствовала любая внешняя сила, дающая в ускорение тангенциальный вклад.

Но там у Вас вводная часть, они не заморачиваются доказательствами, это пока на интуитивном уровне. Они и геодезическую определяют строго несколько позже.

[greg2]

Спасибо, Погорелов как раз кстати.

Вопрос ещё близко, но не совсем об этом. Там дальше в книжке в попытке объяснить афинную связность рассматривают афинную связность на риманновом многообразии $M$, вложенном в $\mathbb{R}^n$ отображением $f$. Рассматривают классическую афинную связность на $\mathbb{R}^n$, то есть $\bigtriangledown_{e X} Y=\sum_i X(Y^i) \partial y^i$ и перекладывают её на многообразие $M$. В этой же книге определение на странице 66. Так вот, там дальше написано, что свойство сочетаемости тангенциальной связности с метрикой $< - , - >$ индуцированной евклидовой метрикой $g( -, -)$ "почти тривиально". И вот его я тоже не смог доказать.
$X <Y,Z> = <\bigtriangledown_{X} Y, Z> + <Y, \bigtriangledown_{X} Z>$.

Левая часть равна:
$X <Y,Z> = X(g(df(Y), df(Z))=X (g(\sum_i (\sum_k Y^k f_{k}^{i}) \partial y^i, \sum_i (\sum_k Z^k f_{k}^{i}) \partial y^i)))=X( \sum_{i,j,k} Y^i Z^j f_{i}^{k} f_{j}^{k})$, где $f_{i}^{j}=\frac{\partial (f \varphi^{-1})_j}{\partial x^i}$ в карте $\varphi$.

Правая часть:
Пусть $X',Y',Z'$ расширения $X,Y,Z$, то есть выполняется $X' \mid_M =df(X), Y' \mid_M =df(Y), Z' \mid_M =df(Z)$. Поэтому если рассмотреть $\bigtriangledown_{e X'} Y'$, где $Y' =\sum_i {Y'}^i \partial y^i$, то выполняется $Y' \mid_M=df(Y)=\sum_i (\sum_{j} Y^j f_{j}^{i}) \partial y^i$ и значит $\bigtriangledown_{e X'} Y' \mid_M=\bigtriangledown_{df(X)} df(Y)$.

Если расписать, то, используя $df(X)(g)=X(gf)$, получим:
$\bigtriangledown_{e X'} Y' \mid_M=\bigtriangledown_{df(X)} df(Y)=\sum_{i} X( \sum_j Y_j f_{j}^{i}) \partial y^i$. Так вот, по определению тангенциальной связности нужно взять сейчас ортогональную проекцию получившегося векторного поля на касательное пространство в точке $p$. И загвоздка здесь в том, что если не брать ортогональную проекцию и посчитать скалярное произведение этого вектора, который получился с $Z$ и во втором слагаемом то же самое, то как раз получится равенство, которое требуется доказать. Но ведь так не должно быть. И, напротив, если взять ортогональную проекцию, там выходит черти что. Иного способа как высчитать эту ортогональную проекцию кроме как использовать правило крамера, я не вижу. То есть там возникнут жуткие огромные определители с которыми совсем невозможно работать. И вроде бы там ничего не получится в итоге.