2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: геодезическая
Сообщение26.12.2015, 10:23 
Заслуженный участник


27/04/09
28128

(Угловые скобки)

\langle Y, Z\rangle $\langle Y, Z\rangle$.

 Профиль  
                  
 
 Re: геодезическая
Сообщение28.12.2015, 02:26 
Заслуженный участник


23/07/08
9161
Харьков
greg2 в сообщении #1085903 писал(а):
И загвоздка здесь в том, что если не брать ортогональную проекцию и посчитать скалярное произведение этого вектора, который получился с $Z$ и во втором слагаемом то же самое, то как раз получится равенство, которое требуется доказать. Но ведь так не должно быть. И, напротив, если взять ортогональную проекцию, там выходит черти что.
Скалярное произведение не зависит от того, возьмете Вы проекцию или нет, потому что нормальная проекция $\bar\nabla_{\bar X} \bar Y$ ортогональна $\bar Z$ в любой точке $p\in M$ и не даёт вклада в скалярное произведение. И это надо использовать.

Советую проделать всё в бескоординатном виде.

 Профиль  
                  
 
 Re: геодезическая
Сообщение28.12.2015, 02:56 


30/11/14
54
действительно, поэтому и получается то же самое. Спасибо большое.

А каким образом в бескоординатном виде можно записать действие афинной связности?

 Профиль  
                  
 
 Re: геодезическая
Сообщение28.12.2015, 03:47 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/01/11
2514
СПб
greg2 в сообщении #1085163 писал(а):
ПРОЕКЦИЯ вектора второй производной на касательное пространство к поверхности в данной точке должно равняться нулю

Есть "физическое" объяснение этого факта. Пусть материальная точка никуда не может сбежать с поверхности и движется по ней. Согласно второму и третьему законам Ньютона вектор ускорения точки должен быть коллинеарен вектору нормальной реакции опоры, то есть вектору нормали к поверхности.

 Профиль  
                  
 
 Re: геодезическая
Сообщение28.12.2015, 11:26 
Заслуженный участник


23/07/08
9161
Харьков
greg2, я бы начинал так.
$g(\nabla_X Y, Z)+g(Y, \nabla_X Z)$ это правая часть формулы, которую надо вывести
$=g(\pi^\top(\bar\nabla_{\bar X}\bar Y), Z)+g(Y, \pi^\top(\bar\nabla_{\bar X}\bar Z))$ по определению тангенциальной связности
$=\bar g(\bar\pi^\top(\bar\nabla_{\bar X}\bar Y), \bar Z)+\bar g(\bar Y, \bar\pi^\top(\bar\nabla_{\bar X}\bar Z))$ потому что индуцированная метрика $g=f^*\bar g$, и $g(X, Y)=\bar g(f_* X, f_* Y)$
$=\bar g(\bar\nabla_{\bar X}\bar Y, \bar Z)+\bar g(\bar Y, \bar\nabla_{\bar X}\bar Z)$ т.к. $\bar\pi^\bot(\bar Y)\perp \bar Z$, где вектор $\bar Y$ любой, а $\bar Z=f_* Z$ касательный к $M$
$=\bar X \bar g(\bar Y, \bar Z)$ так как в $\bar M$ связность согласована с метрикой
Здесь $f_*=df$ дифференциал (pushforward), $f^*$ кодифференциал (pullback),
$\bar \pi^\top=f_*\circ \pi^\top$, т.е. $\bar \pi^\top: T\bar M\to T\bar M$, в отличие от $\pi^\top: T_{f(p)}\bar M\to T_pM$

Попробуйте продолжить.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 20 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group