Диофантово уравнение от 3 неизвестных

[bot]

TR63 в сообщении #1073233 писал(а):

спасибо за ссылку. Очень прозрачное объяснение

А-а-а - это было пользы для? Муторно и польза сомнительная. Внимательно лень смотреть (если стандартное вполне прозрачно), охватывается или нет случай не взаимно простых коэффициентов.
Вот, скажем, даёт ли ссылка алгоритм решения для $15x+21y+35z=8$?

[TR63]

bot в сообщении #1073237 писал(а):

Вот, скажем, даёт ли ссылка алгоритм решения для $15x+21y+35z=8$?

Не знаю. Начало мне там понравилось. Вроде, автор не утверждает, что нашёл все решения. Во всяком случае этот вопрос им до конца в прозрачной для меня форме не рассмотрен. Считать не хочется. Если у Вас есть готовый ответ, выкладывайте, коли не лень или не жаль (мне эти уравнения не к чему, но ответ был бы интересен).
bot,
Верно ли я поняла, что и другим ссылкам по практическим вычислениям в той ссылке нельзя доверять. (А, то я, уж, понадеялась на халяву.)

[verywell]

bot в сообщении #1073237 писал(а):

Вот, скажем, даёт ли ссылка алгоритм решения для $15x+21y+35z=8$?

нет, бот такое уравнение не решает, так как не может решить составное уравнение из двух переменных, когда они не взаимно простые.. но сам алгоритм разложения диофантового уравнения с тремя переменными на три уравнения с двумя переменными правильный.

Спасибо, за критику... придется доделывать...

TR63 в сообщении #1073244 писал(а):

Не знаю. Начало мне там понравилось. Вроде, автор не утверждает, что нашёл все решения. Во всяком случае этот вопрос им до конца в прозрачной для меня форме не рассмотрен. Считать не хочется. Если у Вас есть готовый ответ, выкладывайте, коли не лень или не жаль (мне эти уравнения не к чему, но ответ был бы интересен).
bot,
Верно ли я поняла, что и другим ссылкам по практическим вычислениям в той ссылке нельзя доверять. (А, то я, уж, понадеялась на халяву.)

у автора сайта конечно не математическое образование.. и уровень знаний наверняка намного ниже чем у того же bot, но я стараюсь делать правильных ботов...
Спасибо за положительный отзыв....

[verywell]

verywell в сообщении #1082054 писал(а):

bot в сообщении #1073237 писал(а):

Вот, скажем, даёт ли ссылка алгоритм решения для $15x+21y+35z=8$?

нет, бот такое уравнение не решает, так как не может решить составное уравнение из двух переменных, когда они не взаимно простые.. но сам алгоритм разложения диофантового уравнения с тремя переменными на три уравнения с двумя переменными правильный.

подкорректирую свое сообщение, решения вышеуказанного в целых числах не существует, методика по той ссылке, что была позволяет решать и такие уравнения. В материал статьи добавлен и Ваш пример.
зато его можно решить в таком виде (не целочисленное но зато рабочее)
$x=7t+\frac{7}{3}z+1 \\y=-5t-\frac{10}{3}z-\frac{1}{3}\\z=z$

[bot]

$\left\{\begin{matrix}x=\frac8{15}-\frac{21}{15}y-\frac{35}{15}z\\ y=y\\ z=z \end{matrix}\right.$
Это еще проще, а чем оно хуже менее рабочее?

verywell в сообщении #1084913 писал(а):

решения вышеуказанного в целых числах не существует

Это о нём же? Возьмите $x=1, y=3, z=-2.$

-- Ср дек 23, 2015 13:22:03 --

Сходил по ссылке - добавлено именно оно и утверждается, что целочисленных решений у него нет.

[bot]

Добавлю маленько. Если знать, как решается уравнение с двумя переменными, то увеличение числа переменных принципиальных трудностей не создаёт. Подробности можно поискать в известных учебниках по теории чисел. Вычленить из Бухштаба вычислительный алгоритм будет для начинающего несколько трудноват. Также не искал есть ли в инете нормальные сайты с примерами. Изложу одну из возможных схем, ограничиваясь этим примером.

Итак, требуется найти все целые решения уравнения $15x+21y+35z=8.$
Временно считаем $z$ ио параметра, то есть рассматриваем уравнение $15x+21y=8-35z, $ считая параметр $z$ известным.
Так как левая часть делится на 3, то это уравнение явно неразрешимо, если $8-35z$ не делится на 3, иначе же $z\equiv 1 \pmod{3}$, то есть $z=1+3u, \, u\in \mathbb Z$.
Подставив в уравнение и сократив на 3, получим $5x+7y=-9-35u.$
Это уже стандартное уравнение общим решением:

$$\begin{pmatrix}x\\ y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-3\\ 2\end{pmatrix}(9+35u)+\begin{pmatrix}7\\ -5\end{pmatrix}v,$$

Как итог переменные $x,y,z$ выражены через произвольные целочисленные параметры $u$ и $v$.
В общем случае, линейное уравнение с $n$ неизвестными будет разрешимо только если правая часть делится на НОД коэффициентов левой части и общее решение в таком случае будет содержать $n-1$ произвольных целочисленных параметров. Схема та же, как показано - одно из переменных ио параметра (чтобы заслужить такую честь, надо иметь соответствующий вид - что-то на что-то должно делиться), получаем уравнение с параметром от меньшего числа неизвестных, опять уменьшаем число неизвестных и т.д.

[bot]

Лучше однако другая. Общее решение - это сумма частного решения и общего решения однородного. В разрешимом случае частное решение можно Евклидом найти - сначала единицу через коэффициенты представим, а потом лишь домножим.
Ну а в нахождении общего решения однородного уже свободный член не мешается и просто по делимости уменьшаем коэффициенты до тех пор, пока один из них не станет единицей. Например для уравнения
$15x+21y+35z=0$ последовательно имеем

$z=3z_1, \, 5x+7y+35z_1=0$
$y=5y_1, \, x+7y_1+7z_1=0$

Вместе с найденным ранее частным решением имеем общее решение

$$\begin{pmatrix}x\\ y\\ z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\ 3\\ -2\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}-7\\ 5\\ 0\end{pmatrix}y_1+\begin{pmatrix}-7\\ 0\\ 3\end{pmatrix}z_1$$