Аппроксимация смеси (по данным измерений)

[paolomaldini]

Добрый день, такой вопрос.

Есть набор экспериментальный данных (в дискретном времени, $t_{i}$);
Теория подсказывает, что он (набор) представляет сумму двух процессов $f_{1}+f_{2}$:
1) Обратная зависимость: $f_{1}=\frac{b}{x + x_{0}}$
2) Какая-то квадратичная : $f_{2}= a_{2} x^2 + a_{1} x +$a_{0}

Мечтаю получить наилучшие оценки для коэффициентов $b, a_{k}$, например, в смысле минимума среднеквадратичного отклонения, но из-за формы $f_{1}$ образуется несимпатичная система уравнений.

Может, у кого-то найдется совет, в каких книжках посмотреть подобные типы задач (скорее, это даже параметрическе оценивание, т.к. формы функций установлены заранее).

[Someone]

Если $x_0$ известно, то прямо метод наименьших квадратов и применяйте.
А если неизвестно, то можно попробовать всё умножить на $x+x_0$, но хорошего результата может и не получиться…

P.S. А $x$ — это $t$?

[Евгений Машеров]

Как вариант - перебор значений $x_0$ по достаточно частой сетке, а остальные параметры считать обычным МНК.

[paolomaldini]

Мне надо быть аккуратнее - $x$ это, конечно, $t$.
Спасибо, попробую стандартно по "наименьшим квадратам", но, опасаюсь, в компонентах вида $\sum \frac y {x-x_{0}}$ превалирующий вклад дадут значения вблизи $x_{0}$, "забьют" вторую составляющую $f_2$

[Евгений Машеров]

Тут вообще могут быть вычислительные проблемы.
$\frac b {x+x_0}=1+(1-x-x_0)+(1-x-x_0)^2+\cdots=c_0+c_1x+c_2x^2+\cdots$
И отличить одно от другого по данным может не получиться, различие поведения функций будет меньше, чем помеха

[dsge]

paolomaldini в сообщении #1085075 писал(а):

Мне надо быть аккуратнее - $x$ это, конечно, $t$.
Спасибо, попробую стандартно по "наименьшим квадратам", но, опасаюсь, в компонентах вида $\sum \frac y {x-x_{0}}$ превалирующий вклад дадут значения вблизи $x_{0}$, "забьют" вторую составляющую $f_2$

Solver будет пытаться нормировать $y$ соответственно, однако, если знаменатель мал, то ошибки округления подпортят точность.
Хотя Solver здесь не нужен, всё линейно по коэффициентам, но всё равно возникнут проблемы c потерей точности при обращении матриц.