Задача по алгебраической топологии

[tetricka12]

Вычислить $\pi_1(T^2)$
С чего надо начать?
Знаю что $T^2 $ является декартовым произведением $ S^1\times S^1$
Мне кажется что надо сделать что-то вроде
$\pi_1 (S^1 \times S^1) = \pi_1 (S^1)\times \pi_1 (S^1) = Z^2$
Но как доказать что это преход верен?

[Brukvalub]

tetricka12 в сообщении #1081190 писал(а):

Мне кажется что надо сделать что-то вроде
$\pi_1 (S^1$x$S^1)$ = $\pi_1 (S^1)$x$\pi_1 (S^1)$ = $Z^2$

Это верный факт. Докажите его.

[tetricka12]

А не подскажите с чего начать? А то у меня с этим вообще беда))

[Brukvalub]

Каким объемом предварительных сведений вы владеете?

[Dmitry Tkachenko]

tetricka12, есть известный факт (его не сложно доказать):
Если $X,Y$ --- линейно связные топологические пространства, то фундаментальная группа их произведения $X\times Y$ изоморфна произведению их фундаментальных групп.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);
Не разбивайте формулы на части. Каждую формулу заключайте в пару долларов целиком, не вставляя промежуточных.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[tetricka12]

Не могу найти доказательство того, что
если $X$ и $Y$ линейно связные топологические пространства то
$\pi(X\times Y)=\pi(X)\times\pi(Y)$
в частности $\pi(S^1\times S^1)=\pi(S^1)\times\pi(S^1)$
Помогите найти

[Lia]

Темы объединены.

tetricka12 Замечание за фактическое дублирование темы.

[Dmitry Tkachenko]

tetricka12, докажите сами. Вот Вам план:

1) Рассмотрим проекции $p\colon X\times Y \to X$ и $p\colon X\times Y \to Y.$ Пусть $f$ --- путь в $X\times Y.$ Определим отображение $\varphi\colon \pi \left(X\times Y, (x_0,y_0)\right) \to\pi(X, x_0)\times\pi(Y, y_0)$ как $\varphi [f]=\left(p_*[f], q_*[f]\right)=\left([pf], [qf]\right),$ где $p_* \colon \pi\left(X\times Y, (x_0,y_0)\right) \to \pi \left(X, p(x)\right), p_*[f]=[pf].$ Для $q_*$ налогично.

2) Покажите корректность: если $f \sim g,$ то $\varphi [f]=\varphi [g].$

3) Покажити, что $\varphi$ гомоморфизм групп, инъекция и сюръекция.

-- 16.12.2015, 23:50 --

tetricka12 в сообщении #1081249 писал(а):

Munin в сообщении #1081241 писал(а):

А что перед спецкурсом было? Какие предварительные требования к слушателям спецкурса?

Перед курсом ничего особо похожего не было. Преподаватель посоветовал учебник Косневского по алгебраической топологии в начале курса.

Хахах, то есть к советам преподавателя Вы не прислушиваетесь

[tetricka12]

Как я понял, это доказательство будет очень похоже на доказательство из книжки
Чес Косневского (Началынй курс алгебраической топологии)
http://geometry.karazin.ua/resources/do ... 0da18b.pdf 157 страница учебника. (P.S не знаю, разрешены ли ссылки)

[Dmitry Tkachenko]

tetricka12, я писАл навскидку и мне сложно придумать не похожее на то, что в Косневском, доказательство. А Вам оно не нравится?

[tetricka12]

Dmitry Tkachenko в сообщении #1084669 писал(а):

tetricka12, я писАл навскидку и мне сложно придумать не похожее на то, что в Косневском, доказательство. А Вам оно не нравится?

Ну если честно, то не очень нравится. Я бы хотел более частный случай с окружностями. Хотя, как я понимаю, я могу везде заменить $X , Y$на$ S^1 $ и тупо скопировать доказательство

[alcoholist]

tetricka12
Можно так поступить.
Пусть $e_{1}$, $e_2$ -- базис на декартовой плоскости. Рассмотрим отображение $p:\mathbb{R}^2\to T^2$, заданное формулой $p(x,y)=(e^{2\pi x},e^{2\pi y})$ ($x$ и $y$ -- координаты в данном базисе).
Докажите, что оно непрерывно.
Докажите, что для любой петли $\gamma:[0;1]\to T^2$, для которой $\gamma(0)=\gamma(1)=(1,1)\in T^2$, для любой пары целых чисел $m,n\in\mathbb{Z}$, существует единственный путь $\Gamma^\gamma_{m,n}:[0;1]\to \mathbb{R}^2$, начинающийся в точке $(m,n)$: $\Gamma^\gamma_{m,n}(0)=(m,n)$ и накрывающий путь $\gamma$: $p\circ\Gamma^\gamma_{m,n}=\gamma$. В частности, любой такой петле $\gamma$ можно поставить в соответствие пару целых чисел $(m_\gamma,n_\gamma)$ -- координаты точки $\Gamma^\gamma_{0,0}$.
Осталось доказать, что для гомотопных петель эти координаты совпадают, и заметить, что $(m_{\gamma\mu},n_{\gamma\nu})=(m_\gamma,n_\gamma)+(m_\mu,n_\mu)$.
Таким образом устанавливается изоморфизм между группой $\pi_1(T^2)$ и решеткой $\mathbb{Z}^2$.

[Dmitry Tkachenko]

tetricka12, у Вас два варианта: воспользоваться теоремой о фундаментальной группе произведения линейно связных пространств, используя факт, что $\pi(S^2)=\mathbb{Z},$ либо напрямую вычислить фундаментальную группу тора, как написАл alcoholist. Всё зависит от требований преподавателя и/или Вашего желания. Если Вы сами хотите разобраться в этой задаче, то проработайте оба варианта и при этом вычислите руками фундаментальную группу окружности. Если же Вы не особо заинтересованы, а задача в рамках курса, в котором была теорема $\pi(S^2)=\mathbb{Z}$ и этой теоремой можно пользоваться, то можно первый вариант. Если $\pi(S^2)=\mathbb{Z}$ нельзя использовать как факт, то второй вариант.