2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Найти главный член асимптотического разложения суммы
Сообщение15.12.2015, 23:49 


15/12/15
20
Подскажите, пожалуйста, как ищется главный член асимптотического разложения?

Задача такая:
найти главный член асимптотического разложения суммы при $n\to+\infty$
и асимптотическую оценку для остаточного члена $\sum\limits_{k=1}^{n}=\frac{e^\frac{-k}{n}}{k^2}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти главный член асимптотического разложения суммы
Сообщение16.12.2015, 00:23 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
Эта сумма является интегральной суммой для интеграла
$\frac{1}{n^2}\int_{\frac{1}{n}}^1\frac{e^{-t}}{t^2}dt$,
и этот факт может помочь.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти главный член асимптотического разложения суммы
Сообщение23.12.2015, 00:40 


15/12/15
20
А если разбить сумму на $\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{e^{-k/n}}{k^2} = \sum\limits_{k=1}^{m}\frac{e^{-k/n}}{k^2} + \sum\limits_{k=m+1}^{n}\frac{e^{-k/n}}{k^2}$ можно ли при оценке первой суммы учитывать то, что $\sum\limits_{k=1}^{m}\frac{1}{k^2} = \frac{\pi^2}{6}$ и дальше работать с суммой $\sum\limits_{k=1}^{m}\ e^{-k/n}$ ?

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти главный член асимптотического разложения суммы
Сообщение23.12.2015, 00:48 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
krupen в сообщении #1084871 писал(а):
можно ли при оценке первой суммы учитывать то, что $\sum\limits_{k=1}^{m}\frac{1}{k^2} = \frac{\pi^2}{6}$

Откуда такие свЕдения? :shock: Например, $\sum\limits_{k=1}^{1}\frac{1}{k^2} =1\ne \frac{\pi^2}{6}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти главный член асимптотического разложения суммы
Сообщение23.12.2015, 01:12 


15/12/15
20
А если раскладывать экспоненту, то верно ли это? $S_1=\sum\limits_{k=1}^{m}\frac{e^{-k/n}}{k^2} = \sum\limits_{k=1}^{m}\frac{1}{k^2} - \sum\limits_{k=m+1}^{\infty}\frac{1}{k^2} = \frac{\pi^2}{6} + O(\frac{1}{m+1}) = \frac{\pi^2}{6} + O(\frac{1}{m})$

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти главный член асимптотического разложения суммы
Сообщение23.12.2015, 01:20 
Заслуженный участник


25/02/08
2961
krupen
Нет. Если нужен просто главный асимптотический член, то можно разложить экспоненту до второго слагаемого $ \[\sum\limits_{k = 1}^n {\frac{{{e^{ - \frac{k}{n}}}}}{{{k^2}}}}  = \sum\limits_{k = 1}^n {\frac{1}{{{k^2}}}\sum\limits_{j = 0}^\infty  {\frac{{{{( - 1)}^j}}}{{j!}}{{(\frac{k}{n})}^j}} }  \approx \sum\limits_{k = 1}^n {\frac{1}{{{k^2}}}}  - \frac{1}{n}\sum\limits_{k = 1}^n {\frac{1}{k}} \]$, и вторую сумму просто оценить как интеграл (можно и точнее, конечно), и получить $\[\frac{{{\pi ^2}}}{6} - \frac{{\ln n}}{n} + O(\frac{1}{n})\]$

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти главный член асимптотического разложения суммы
Сообщение23.12.2015, 01:33 


15/12/15
20
а почему именно до второго члена раскладывается?

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти главный член асимптотического разложения суммы
Сообщение23.12.2015, 01:35 
Заслуженный участник


25/02/08
2961
krupen
Ну хотите разложите до десятого, а ещё оценивайте частичную сумму гармонического ряда через числа Бернулли... Вам что надо то? Первый член асимптотики на бесконечности? Ну так его нашли.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти главный член асимптотического разложения суммы
Сообщение23.12.2015, 01:48 


15/12/15
20
Просто решали что-то подобное, только под знаком суммы стоял произведение синуса на число в степени и из разложения синуса брался только первый член, поэтому и возник такой вопрос.

А если я раскладываю сумму на 2 и одну оцениваю точно, а вторую грубо, можно ли записать так:
$|S_2| \leqslant \sum\limits_{k = m+1}^{n} \frac{1}{k^2} = O(\frac{1}{m+1}) $ ?

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти главный член асимптотического разложения суммы
Сообщение23.12.2015, 01:55 
Заслуженный участник


25/02/08
2961
krupen
Я просто не вижу смысла в том, что вы пишите

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 10 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group