Найти главный член асимптотического разложения суммы

[krupen]

Подскажите, пожалуйста, как ищется главный член асимптотического разложения?

Задача такая:
найти главный член асимптотического разложения суммы при $n\to+\infty$
и асимптотическую оценку для остаточного члена $\sum\limits_{k=1}^{n}=\frac{e^\frac{-k}{n}}{k^2}$

[Brukvalub]

Эта сумма является интегральной суммой для интеграла
$\frac{1}{n^2}\int_{\frac{1}{n}}^1\frac{e^{-t}}{t^2}dt$,
и этот факт может помочь.

[krupen]

А если разбить сумму на $\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{e^{-k/n}}{k^2} = \sum\limits_{k=1}^{m}\frac{e^{-k/n}}{k^2} + \sum\limits_{k=m+1}^{n}\frac{e^{-k/n}}{k^2}$ можно ли при оценке первой суммы учитывать то, что $\sum\limits_{k=1}^{m}\frac{1}{k^2} = \frac{\pi^2}{6}$ и дальше работать с суммой $\sum\limits_{k=1}^{m}\ e^{-k/n}$ ?

[Brukvalub]

krupen в сообщении #1084871 писал(а):

можно ли при оценке первой суммы учитывать то, что $\sum\limits_{k=1}^{m}\frac{1}{k^2} = \frac{\pi^2}{6}$

Откуда такие свЕдения? Например, $\sum\limits_{k=1}^{1}\frac{1}{k^2} =1\ne \frac{\pi^2}{6}$

[krupen]

А если раскладывать экспоненту, то верно ли это? $S_1=\sum\limits_{k=1}^{m}\frac{e^{-k/n}}{k^2} = \sum\limits_{k=1}^{m}\frac{1}{k^2} - \sum\limits_{k=m+1}^{\infty}\frac{1}{k^2} = \frac{\pi^2}{6} + O(\frac{1}{m+1}) = \frac{\pi^2}{6} + O(\frac{1}{m})$

[Ms-dos4]

krupen
Нет. Если нужен просто главный асимптотический член, то можно разложить экспоненту до второго слагаемого $ \[\sum\limits_{k = 1}^n {\frac{{{e^{ - \frac{k}{n}}}}}{{{k^2}}}} = \sum\limits_{k = 1}^n {\frac{1}{{{k^2}}}\sum\limits_{j = 0}^\infty {\frac{{{{( - 1)}^j}}}{{j!}}{{(\frac{k}{n})}^j}} } \approx \sum\limits_{k = 1}^n {\frac{1}{{{k^2}}}} - \frac{1}{n}\sum\limits_{k = 1}^n {\frac{1}{k}} \]$, и вторую сумму просто оценить как интеграл (можно и точнее, конечно), и получить $\[\frac{{{\pi ^2}}}{6} - \frac{{\ln n}}{n} + O(\frac{1}{n})\]$

[krupen]

а почему именно до второго члена раскладывается?

[Ms-dos4]

krupen
Ну хотите разложите до десятого, а ещё оценивайте частичную сумму гармонического ряда через числа Бернулли... Вам что надо то? Первый член асимптотики на бесконечности? Ну так его нашли.

[krupen]

Просто решали что-то подобное, только под знаком суммы стоял произведение синуса на число в степени и из разложения синуса брался только первый член, поэтому и возник такой вопрос.

А если я раскладываю сумму на 2 и одну оцениваю точно, а вторую грубо, можно ли записать так:
$|S_2| \leqslant \sum\limits_{k = m+1}^{n} \frac{1}{k^2} = O(\frac{1}{m+1}) $ ?

[Ms-dos4]

krupen
Я просто не вижу смысла в том, что вы пишите