Блин, это даже я понимаю. Вот возьмите какой-то путь в
![$S^1$ $S^1$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/d/d/6dd9b3fd1c1d48a66a2d49f156a1233882.png)
, начинающийся и заканчивающийся в точке
![$O\in S^1$ $O\in S^1$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/3/8/638cc78fb6e541fa8913af72647a5dda82.png)
. Стяните его - получите какую-то намотку окружности: либо
![$n$ $n$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/5/a/55a049b8f161ae7cfeb0197d75aff96782.png)
витков по часовой стрелке, либо
![$n$ $n$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/5/a/55a049b8f161ae7cfeb0197d75aff96782.png)
витков против часовой стрелки, либо точку
![$O$ $O$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/a/f/9afe6a256a9817c76b579e6f5db9a57882.png)
. Путю с
![$n$ $n$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/5/a/55a049b8f161ae7cfeb0197d75aff96782.png)
витками по часовой поставим в соответствие число
![$n$ $n$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/5/a/55a049b8f161ae7cfeb0197d75aff96782.png)
, точке
![$O$ $O$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/a/f/9afe6a256a9817c76b579e6f5db9a57882.png)
- число
![$0$ $0$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/9/6/29632a9bf827ce0200454dd32fc3be8282.png)
, путю с
![$n$ $n$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/5/a/55a049b8f161ae7cfeb0197d75aff96782.png)
витками против часовой поставим в соответствие число
![$-n$ $-n$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/2/6/9269263024a3e8a6f6a7df844372c28882.png)
. Получили биекцию
![$\pi(S^1)$ $\pi(S^1)$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/4/6/646ce4d949b9414521edb61ff83c8f8f82.png)
на
![$\mathbb{Z}$ $\mathbb{Z}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/9/4/b9477ea14234215f4d516bad55d011b882.png)
. Теперь просто проверяем, что эта биекция - изоморфизм. Возьмем 2 пути из
![$O$ $O$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/a/f/9afe6a256a9817c76b579e6f5db9a57882.png)
в
![$O$ $O$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/a/f/9afe6a256a9817c76b579e6f5db9a57882.png)
-
![$AB$ $AB$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/a/5/5a58df2f9303017b173748509a0aa34c82.png)
и
![$CD$ $CD$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/5/a/d5a609d1683f88aa654f288cbf3d527f82.png)
. Склеим 2 конца
![$B$ $B$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/1/e/61e84f854bc6258d4108d08d4c4a085282.png)
и
![$C$ $C$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/b/3/9b325b9e31e85137d1de765f43c0f8bc82.png)
- получим один путь - это бинарная операция произведения путей в
![$\pi(S^1)$ $\pi(S^1)$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/4/6/646ce4d949b9414521edb61ff83c8f8f82.png)
. Теперь просто проверьте, что
![$\varphi$ $\varphi$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/1/7/417a5301693b60807fa658e5ef9f953582.png)
- гомоморфизм (а это очевидно: если 1-й путь - намотка 3-х витков, а 2-й путь - намотка 5 витков по часовой, то их композиция - намотка из
![$3+5=8$ $3+5=8$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/e/3/1e3e006a990a3d222a84b1bca50bb04682.png)
витков по часовой).
Если все совсем плохо, возьмите столб и 2 веревки и поэкспериментируйте.