фундаментальная группа

[Mega31]

Есть ли простое доказательство для $\pi(S^1) = Z$ ?
А то куда бы не смотрел, везде оно не понятное какое-то.

[Sonic86]

Блин, это даже я понимаю. Вот возьмите какой-то путь в $S^1$, начинающийся и заканчивающийся в точке $O\in S^1$. Стяните его - получите какую-то намотку окружности: либо $n$ витков по часовой стрелке, либо $n$ витков против часовой стрелки, либо точку $O$. Путю с $n$ витками по часовой поставим в соответствие число $n$, точке $O$ - число $0$, путю с $n$ витками против часовой поставим в соответствие число $-n$. Получили биекцию $\varphi$ $\pi(S^1)$ на $\mathbb{Z}$. Теперь просто проверяем, что эта биекция - изоморфизм. Возьмем 2 пути из $O$ в $O$ - $AB$ и $CD$. Склеим 2 конца $B$ и $C$ - получим один путь - это бинарная операция произведения путей в $\pi(S^1)$. Теперь просто проверьте, что $\varphi$ - гомоморфизм (а это очевидно: если 1-й путь - намотка 3-х витков, а 2-й путь - намотка 5 витков по часовой, то их композиция - намотка из $3+5=8$ витков по часовой).

Если все совсем плохо, возьмите столб и 2 веревки и поэкспериментируйте.

[Mega31]

Sonic86 в сообщении #1084778 писал(а):

Блин, это даже я понимаю. Вот возьмите какой-то путь в $S^1$, начинающийся и заканчивающийся в точке $O\in S^1$. Стяните его - получите какую-то намотку окружности: либо $n$ витков по часовой стрелке, либо $n$ витков против часовой стрелки, либо точку $O$. Путю с $n$ витками по часовой поставим в соответствие число $n$, точке $O$ - число $0$, путю с $n$ витками против часовой поставим в соответствие число $-n$. Получили биекцию $\varphi$ $\pi(S^1)$ на $\mathbb{Z}$. Теперь просто проверяем, что эта биекция - изоморфизм. Возьмем 2 пути из $O$ в $O$ - $AB$ и $CD$. Склеим 2 конца $B$ и $C$ - получим один путь - это бинарная операция произведения путей в $\pi(S^1)$. Теперь просто проверьте, что $\varphi$ - гомоморфизм (а это очевидно: если 1-й путь - намотка 3-х витков, а 2-й путь - намотка 5 витков по часовой, то их композиция - намотка из $3+5=8$ витков по часовой).

Если все совсем плохо, возьмите столб и 2 веревки и поэкспериментируйте.

Спасибо, вроде доступно и просто рассписали

А такой вопрос еще интересует. а как с тором например посчитать такое? (не представляя его как $\pi(T^2) = \pi(S^1 \times S^1) = \pi(S^1)\times\pi(S^1) = Z^2$)

[Sonic86]

(Оффтоп)

Mega31 в сообщении #1084789 писал(а):

а как с тором например посчитать такое?

А вот тут я пас. Я - ненастоящий сварщик.

[apriv]

Mega31 в сообщении #1084770 писал(а):

Есть ли простое доказательство для $\pi(S^1) = Z$ ?
А то куда бы не смотрел, везде оно не понятное какое-то.

То, что Вам тут предлагают под видом доказательства — это переизложение на пальцах стандартного рассуждения, в котором не сказано главного: прямая является универсальным накрытием окружности. Теперь можно заменить в нем слово «прямая» на «плоскость», а слово «окружность» на «тор».

[Sonic86]

(Оффтоп)

apriv в сообщении #1084896 писал(а):

То, что Вам тут предлагают под видом доказательства

Им здесь не предлагают это под видом доказательства. Не надо лгать. Именно для этого я здесь пишу:

Sonic86 в сообщении #1084790 писал(а):

Я - ненастоящий сварщик.

Это лишь интуитивно понятное объяснение факта на пальцах. На него можно опереться временно, как на костыль, а потом, по мере увеличения силы рассуждений, отбросить.

Mega31 в сообщении #1084789 писал(а):

А такой вопрос еще интересует. а как с тором например посчитать такое? (не представляя его как $\pi(T^2) = \pi(S^1 \times S^1) = \pi(S^1)\times\pi(S^1) = Z^2$)

Кстати, можно и здесь рассуждать на пальцах. Тор представить в виде квадрата с отождествленными одинаково ориентированными краями, а любой путь выпрямить в виде композиции вертикальных и горизонтальных путей.
Но опять же предупреждаю: это - не доказательство. Это рассуждение на пальцах, чтобы почувствовать. А в качестве доказательства оно просто не годится, т.к. опирается на интуитивные понятия.

А вообще Вы не задали толком вопрос. Что значит "оно не понятное какое-то"? Буквы нерусские? Слова неизвестные? Напишите конкретно.