А существуют ли в современной теоретической физики идеи, концепции и взляды, выходящие за рамки принципа наименьшего действия и иже с ними?
Я думаю, что статфизика, особливо квантовая - статистика Ферми-Дирака и Бозе-Эйнштейна - не имеет к действию ни малейшего отношения.
Другими словами, есть ли какие-либо альтернативы теориям с лагранжевым, гамильтоновым формализмом?
А вот тут вряд ли, разве что какие-либо квантовые матричные переформулировки того же самого (в принципе, слово "гамильтониан" там есть... или хотя бы

-матрица).
Но все же есть ли другой, не менее интересный взгляд на физическую картину мира в наше время или этот формализм один из неотъемлимых атрибутов современной парадигмы?
Скорее, он настолько широко обобщающий, что на таком уровне обобщения - больше никому ничего и не нужно. Всё всех устраивает.
Я как-то в детстве пытался "вывести" принцип наименьшего действия из детерминизма. Как-то так: раз мы знаем, что траектория в будущем из начального состояния единственна, то можем записать её как вообще какое-то уравнение

а дальше просто заявим, что это минимум чего-то,

Конечно, это нестрого, но на таком уровне других альтернатив как-то не прослеживается: мы всегда можем построить такое "действие".
Другое дело, что реально такое действие обладает рядом хороших свойств: оно интеграл от локального лагранжиана (ну или хотя бы как в фейнмановской классической электродинамике с дальнодействием), куча симметрий и т. д. Кроме того, "окрестности" квадратичного минимума оказывается возможным "прощупать" в квантовых опытах. Что, в общем, подтверждает, что мы угадали.