Вариационные принципы.

[Pulseofmalstrem]

А существуют ли в современной теоретической физики идеи, концепции и взляды, выходящие за рамки принципа наименьшего действия и иже с ними? Другими словами, есть ли какие-либо альтернативы теориям с лагранжевым, гамильтоновым формализмом?
Я понимаю, что это очень сильный и эффективный формализм, использование которого позволяет красиво и легко находить уравнения динамики самых разнообразных систем, вкупе с чем доставлять выполнение тех или иных законов сохранения и предоставляет много других плюшек. Но все же есть ли другой, не менее интересный взгляд на физическую картину мира в наше время или этот формализм один из неотъемлимых атрибутов современной парадигмы?

[alcoholist]

(Оффтоп)

Действительность -- это реализовавшаяся возможность. Значит она чем-то исключительна-особа-экстремальна. Аристотеля, что ли, перечитать.
Хотя философские обоснования научных методов -- сплошь спекуляция))

[Munin]

Pulseofmalstrem в сообщении #1084361 писал(а):

А существуют ли в современной теоретической физики идеи, концепции и взляды, выходящие за рамки принципа наименьшего действия и иже с ними?

Я думаю, что статфизика, особливо квантовая - статистика Ферми-Дирака и Бозе-Эйнштейна - не имеет к действию ни малейшего отношения.

Pulseofmalstrem в сообщении #1084361 писал(а):

Другими словами, есть ли какие-либо альтернативы теориям с лагранжевым, гамильтоновым формализмом?

А вот тут вряд ли, разве что какие-либо квантовые матричные переформулировки того же самого (в принципе, слово "гамильтониан" там есть... или хотя бы $S$-матрица).

Pulseofmalstrem в сообщении #1084361 писал(а):

Но все же есть ли другой, не менее интересный взгляд на физическую картину мира в наше время или этот формализм один из неотъемлимых атрибутов современной парадигмы?

Скорее, он настолько широко обобщающий, что на таком уровне обобщения - больше никому ничего и не нужно. Всё всех устраивает.

Я как-то в детстве пытался "вывести" принцип наименьшего действия из детерминизма. Как-то так: раз мы знаем, что траектория в будущем из начального состояния единственна, то можем записать её как вообще какое-то уравнение $f=f_0,$ а дальше просто заявим, что это минимум чего-то, $(f-f_0)^2=\min.$ Конечно, это нестрого, но на таком уровне других альтернатив как-то не прослеживается: мы всегда можем построить такое "действие".

Другое дело, что реально такое действие обладает рядом хороших свойств: оно интеграл от локального лагранжиана (ну или хотя бы как в фейнмановской классической электродинамике с дальнодействием), куча симметрий и т. д. Кроме того, "окрестности" квадратичного минимума оказывается возможным "прощупать" в квантовых опытах. Что, в общем, подтверждает, что мы угадали.

[OlegML]

Munin в сообщении #1084496 писал(а):

Скорее, он настолько широко обобщающий, что на таком уровне обобщения - больше никому ничего и не нужно. Всё всех устраивает.

Я как-то в детстве пытался "вывести" принцип наименьшего действия из детерминизма. Как-то так: раз мы знаем, что траектория в будущем из начального состояния единственна, то можем записать её как вообще какое-то уравнение $f=f_0,$ а дальше просто заявим, что это минимум чего-то, $(f-f_0)^2=\min.$ Конечно, это нестрого, но на таком уровне других альтернатив как-то не прослеживается: мы всегда можем построить такое "действие".

Меня тоже всегда волновал вопрос: "Откуда такая уверенность что принцип наименьшего действия всегда справедлив?"
Может здесь кто то знает ответ? Кажется на этом принципе построена большая часть физических теорий.
Я даже придумал, как мне кажется, более фундаментальный и очевидный принцип: "Развитие системы полностью определяется ее состоянием в данный момент." Из этого принципа вроде бы также удается получить какие то уравнения, подобные Лагранжевым или Шредингера.

[arseniiv]

OlegML в сообщении #1084644 писал(а):

Я даже придумал, как мне кажется, более фундаментальный и очевидный принцип: "Развитие системы полностью определяется ее состоянием в данный момент." Из этого принципа вроде бы также удается получить какие то уравнения, подобные Лагранжевым или Шредингера.

Ну это просто детерминизм, это слишком общо. Если принять время изоморфным вещественной прямой, так можно получить любое разбиение любого не менее чем континуального множества на такие «прямые». Никакой другой структуры на множество и разбиение при этом не накладывается. Кажется, тут даже какую-то определённую топологию не получить, не говоря уже о более важных для физики вещей.

-- Вт дек 22, 2015 09:23:11 --

С прямыми я переборщил. Прямые и кольца.

-- Вт дек 22, 2015 09:26:32 --

Будет на ней только действие группы $(\mathbb R, +)$ временны́х сдвигов, если постулировать кое-чего про время.

[OlegML]

OlegML в сообщении #1084644 писал(а):

Если принять время изоморфным вещественной прямой, так можно получить любое разбиение любого не менее чем континуального множества на такие «прямые».

Что Вы понимаете под множествами?

arseniiv в сообщении #1084647 писал(а):

Ну это просто детерминизм, это слишком общо.

Если системе сопоставить определяющую ее поведение функцию, то принцип сводится к утверждению, что "истинное" направление развития системы полностью определяется свойствами функции в окрестности точки, в которой находится система. Если рассмотреть дифференциал функции в различных направлениях изменения координат, то можно заметить, что только экстремальное значение дифференциала однозначно определяет направление изменения координат. Отсюда следует что развитие системы возможно только вдоль градиента введенной функции и можно поиграться с какими-то уравнениями.

[arseniiv]

OlegML в сообщении #1084668 писал(а):

Что Вы понимаете под множествами?

Обычные математические множества.

OlegML в сообщении #1084668 писал(а):

Если системе сопоставить определяющую ее поведение функцию, то принцип сводится к утверждению, что "истинное" направление развития системы полностью определяется свойствами функции в окрестности точки, в которой находится система. Если рассмотреть дифференциал функции в различных направлениях изменения координат, то можно заметить, что только экстремальное значение дифференциала однозначно определяет направление изменения координат.

Ну, это вы сейчас чего-то навводили, чего не было в формулировке принципа до этого. Принцип экстремального действия в этом отношении — совсем другое дело. В него входит как минимум определение действия и кое-какого пространства.

[Red_Herring]

И вариационный и детерминистический принципы в общем виде дают очень общие и никак не комкретные уравнения, причём во втором случае класс уравнений гораздо больше. Например он включает теплопроводность или УНС. Но вообще подобные общие рассуждения достаточно бесплодны.

[Blancke_K]

Есть, конечно. Бутстрап, дуальности, алгебры токов.
Часто удается написать производящую функцию теории, но не лагранжиан/гамильтониан. Существует весьма интересный и полезный класс теорий в 6-ти измерениях, лагранжево описание которых не известно.
Однако некоторое обобщенное понятие "принципа наименьшего действия" играет и по всей видимости всегда будет играть очень важную роль в теор.физике.

[EvgenyGR]

OlegML в сообщении #1084644 писал(а):

Меня тоже всегда волновал вопрос: "Откуда такая уверенность что принцип наименьшего действия всегда справедлив?"

В прикладной математике (или в математическом моделировании физико-механических систем), модели всегда строятся на основе неких упрощающих гипотез. Например обычные балочные и оболочечные уравнения получаются на основе гипотезы Кирхгофа-Лява. Это кстати не единственно возможная упрощающая гипотеза, есть например гипотеза Тимошенко. Так вот уверенностью что справедливо уравнения для балки или оболочки вытекает из справедливости упрощающих гипотез.

Что касается принципа наименьшего действия относительно механики, ответить на Ваш вопрос можно если понять на основе каких упрощающих гипотез поучен это самый принцип т.е. применимость вариационных подходов (это математический инструмент) к определенному классу задач механик. По другому это называется обоснованием механики.

Меня эта тема интересовала и я вроде ее решил.

[rustot]

OlegML в сообщении #1084644 писал(а):

Меня тоже всегда волновал вопрос: "Откуда такая уверенность что принцип наименьшего действия всегда справедлив?"

Так альтернативой является недетерменированность и невозможность вообще найти законы. То есть это как бы преамбула "допустим законы существуют и их можно найти", не обязательно справедливая, но без нее дальше и делать нечего.

[Theoristos]

OlegML в сообщении #1084644 писал(а):

Меня тоже всегда волновал вопрос: "Откуда такая уверенность что принцип наименьшего действия всегда справедлив?"
Может здесь кто то знает ответ?

Гм, в той же мере, в какой справедливо геометрическая оптика.
Предельная траектория при $\hbar\to 0$.

[Pulseofmalstrem]

Theoristos
Тогда сразу следующий вопрос: Почему мы уверены что метод интегралов по траекториям корректен всегда и везде (если мы ищем функционал действия для новой теории)?
Поправлю свой вопрос, почему мы, создавая новую теорию поля (чего-либо), автоматически начинаем перебирать разные выражения для действия поля? Откуда у нас уверенность, что мы всегда сможем найти такой функционал?

P.S. Вопрос на самом деле можно разбить на два других:

1) Верно ли то, что для любых мыслимых уравнений динамики любой мыслимой системы существует такой функционал действия, что его вариация автоматически приводит к искомым уравнениям (нельзя ли выписать чисто формально уравнения такие, что для них не получиться найти порождающее действие)?

2) Существует ли потенциальная возможность создать альтернативный формализм, ничуть не уступающий формализму Лагранжа и Гамильтона?

[Munin]

Где-то в недрах "Мечт об окончательной теории" Вайнберга я натыкался на такую мысль:

Новая физическая теория должна быть некоторой математической деформацией старой теории. И вот чем дальше по истории физики, тем меньше и меньше деформаций допускают физические теории, они становятся более "жёсткими". Какой-нибудь закон Ньютона можно было портить как хочешь, с уравнениями Эйнштейна это уже гораздо труднее. Так вот, квантовую механику (читаем: ФИТ) деформировать вообще не удаётся. Вайнберг сам пытался внести в неё нелинейность, и получал какой-то неработающий результат.

[Blancke_K]

Существуют теории, имеющие несколько эквивалентных Лагранжевых формулировок; существуют теории, которые не имеют гамильтонова описания (пример $H=0$). Не каждому мыслимому уравнению динамики можно сопоставить адекватную квантовую теорию.