сходимость в l2 и l-бесконечность

[shukshin]

Привести пример последовательности из $l_2, l_\infty$(одновременно)
которая в $l_\infty$сходится, а в $l_2$ - нет.

Последовательность из $l_2, l_\infty$ - суть последовательность бесконечных векторов, понимаю.
Как вообще подступиться? Я перебрал парочку вариантов - не подходит.

Могу условия выписать.
В $l_2$ метрика - сумма квадратов разностей координат.
В $l_\infty$ метрика - супремум разностей координат.

К $l_2$ последовательность принадлежит, если ряд квадратов координат сходится.
К $l_\infty$ последовательность принадлежит, если супремум координат конечен.

[gomomorfizm]

shukshin
Я правильно понимаю, вы имеете ввиду Гильбертово и Банахово пространство?

[Brukvalub]

shukshin в сообщении #1084121 писал(а):

Я перебрал парочку вариантов - не подходит.

Перебирайте еще. В качестве подсказки: попробуйте в качестве членов последовательности брать "бесконечномерные векторы", в которых только конечное число координат не равно нулю.

[shukshin]

Brukvalub
как такой пример
$l_1 = {1, 1/2, ... , 1/k, 1/(k+1), ...}, $l_k = {1, 1/(\sqrt{2}), ... , 1/(\sqrt{k}), 1/(k+1), ...}$

[Brukvalub]

Ну, вот и докажите здесь, что ваш пример реализует требуемое. (Если что, я с вами в "угадайку" играть не садился ).

[shukshin]

Brukvalub
вот тут мне интуитивно понятно.
я путаюсь в пределах в смысле пространства и в общем.
понятно, что последовательность из квадратов координат стремится к гармонической по построению.
понятно, что гармонический ряд расходится. и тогда наша последовательность НЕ сходится в смысле пространства?

[Brukvalub]

Нет, ваши рассуждения с самого начала ошибочны, да и интуиция ваша хромает на обе ноги...

[gomomorfizm]

shukshin
Как вы понимаете определение предела и пространства " вобщем?" И что значит несходимость в смысле пространства?

[shukshin]

gomomorfizm
ну то есть не сходится по метрике принятой в $l_2$

[shukshin]

Brukvalub
$(1, 0, 0 ... ) $(1, 1/\sqrt{2}, 0 ...) $(1,1/\sqrt{2}, 1/\sqrt{3}, 0 ...) $
показал сходимость к последовательности обратных корней в $l_\infty$
и возрастание нормы в $l_2$
для произвольного эпсилон всегда можно указать сколько элементов гармонического ряда (сумма квадратов элементов)взять, чтобы эпсилон превзойти
(в силу расходимости гармонического ряда)
Из этого же следует, что последовательность не сходится в $l_2$?

[NSKuber]

shukshin в сообщении #1084248 писал(а):

Из этого же следует, что последовательность не сходится в $l_2$?

Следует. Доказывается от противного с применением неравенства треугольника.