2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 сходимость в l2 и l-бесконечность
Сообщение20.12.2015, 21:49 
Привести пример последовательности из $l_2, l_\infty$(одновременно)
которая в $l_\infty$сходится, а в $l_2$ - нет.

Последовательность из $l_2, l_\infty$ - суть последовательность бесконечных векторов, понимаю.
Как вообще подступиться? Я перебрал парочку вариантов - не подходит.

Могу условия выписать.
В $l_2$ метрика - сумма квадратов разностей координат.
В $l_\infty$ метрика - супремум разностей координат.

К $l_2$ последовательность принадлежит, если ряд квадратов координат сходится.
К $l_\infty$ последовательность принадлежит, если супремум координат конечен.

 
 
 
 Re: сходимость в l2 и l-бесконечность
Сообщение20.12.2015, 21:55 
Аватара пользователя
shukshin
Я правильно понимаю, вы имеете ввиду Гильбертово и Банахово пространство?

 
 
 
 Re: сходимость в l2 и l-бесконечность
Сообщение20.12.2015, 21:56 
Аватара пользователя
shukshin в сообщении #1084121 писал(а):
Я перебрал парочку вариантов - не подходит.

Перебирайте еще. В качестве подсказки: попробуйте в качестве членов последовательности брать "бесконечномерные векторы", в которых только конечное число координат не равно нулю.

 
 
 
 Re: сходимость в l2 и l-бесконечность
Сообщение20.12.2015, 22:11 
Brukvalub
как такой пример
$l_1 = {1, 1/2, ... , 1/k, 1/(k+1), ...}, 

$l_k = {1, 1/(\sqrt{2}), ... , 1/(\sqrt{k}), 1/(k+1), ...}$

 
 
 
 Re: сходимость в l2 и l-бесконечность
Сообщение20.12.2015, 22:13 
Аватара пользователя
Ну, вот и докажите здесь, что ваш пример реализует требуемое. (Если что, я с вами в "угадайку" играть не садился :D ).

 
 
 
 Re: сходимость в l2 и l-бесконечность
Сообщение20.12.2015, 22:58 
Brukvalub
вот тут мне интуитивно понятно.
я путаюсь в пределах в смысле пространства и в общем.
понятно, что последовательность из квадратов координат стремится к гармонической по построению.
понятно, что гармонический ряд расходится. и тогда наша последовательность НЕ сходится в смысле пространства?

 
 
 
 Re: сходимость в l2 и l-бесконечность
Сообщение20.12.2015, 23:04 
Аватара пользователя
Нет, ваши рассуждения с самого начала ошибочны, да и интуиция ваша хромает на обе ноги...

 
 
 
 Re: сходимость в l2 и l-бесконечность
Сообщение20.12.2015, 23:20 
Аватара пользователя
shukshin
Как вы понимаете определение предела и пространства " вобщем?" И что значит несходимость в смысле пространства?

 
 
 
 Re: сходимость в l2 и l-бесконечность
Сообщение20.12.2015, 23:22 
gomomorfizm
ну то есть не сходится по метрике принятой в $l_2$

 
 
 
 Re: сходимость в l2 и l-бесконечность
Сообщение21.12.2015, 09:57 
Brukvalub
$(1, 0, 0 ... )

$(1, 1/\sqrt{2}, 0 ...)

$(1,1/\sqrt{2}, 1/\sqrt{3}, 0 ...)

$
показал сходимость к последовательности обратных корней в $l_\infty$
и возрастание нормы в $l_2$
для произвольного эпсилон всегда можно указать сколько элементов гармонического ряда (сумма квадратов элементов)взять, чтобы эпсилон превзойти
(в силу расходимости гармонического ряда)
Из этого же следует, что последовательность не сходится в $l_2$?

 
 
 
 Re: сходимость в l2 и l-бесконечность
Сообщение21.12.2015, 13:15 
shukshin в сообщении #1084248 писал(а):
Из этого же следует, что последовательность не сходится в $l_2$?

Следует. Доказывается от противного с применением неравенства треугольника.

 
 
 [ Сообщений: 11 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group