Матрица в степени матрица

[serval]

Пусть $A$ и $B$ - матрицы. Определена ли операция $A^B$ ?
Если она определена при некоторый условиях на матрицы - то при каких?

[Brukvalub]

Записав, что $A^B=e^{B\cdot\ln(I+(A-I))}$, становится понятно, что в некоторых случаях такую операцию можно определить. Вот только пока непонятно, зачем?

[serval]

Чтобы произвести некоторые действия с показателем степени, который имеет структуру скалярного произведения.

[arseniiv]

Тут вообще вопрос в том, что такое возведение в степень. Об этом как-то (по поводу тетрации для комплексных вещественных чисел) было хорошо написано на Math.StackExchange: http://math.stackexchange.com/a/56710. Немного не в тему, но нельзя сказать, что совсем не.

[Munin]

Brukvalub в сообщении #1082608 писал(а):

Записав, что $A^B=e^{B\cdot\ln(I+(A-I))}$, становится понятно, что в некоторых случаях такую операцию можно определить.

И кроме того, становится понятно, что в большинстве случаев $B$ неперестановочна с $\ln(I+(A-I)),$ так что в виде с экспонентой - запись более общая.

[Vince Diesel]

serval в сообщении #1082606 писал(а):

Пусть $A$ и $B$ - матрицы. Определена ли операция $A^B$ ?
Если она определена при некоторый условиях на матрицы - то при каких?

Неплохо бы сказать, какие матрицы берутся. Прямоугольные подходят или только квадратные одного размера? И какого размера предполагается результат? Или это вообще не матрица? Должна ли получившаяся матрица менаться по обычном правилам при замене базиса? Или чему должен равняться ответ в одномерном случае, скажем для $(-1)^{1/2}$?

[Red_Herring]

Brukvalub в сообщении #1082608 писал(а):

Вот только пока непонятно, зачем?

Вот именно. Какие свойства степени хочется сохранить при том, что следующие свойства неверны:

$(AB)^n= A^nB^n$
$e^A e^B=e^{A+B}$

[serval]

Даны следующие матрицы $A_1$ и $A_2$

$ A_1 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix} $ , $ A_{2}^{T} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix} $

Тогда

$ A_{1}^{x-1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ x-1 & 1 & 0 \\ \frac{1}{2}(x-1)(x-2) & x-1 & 1 \end{pmatrix} $

Требуется сделать замену $x=y^2$ где $x=e_1 A_{2}^{T} A_{1}^{x-1} e^1$ , $y^2=e_1 (A_{2}^{T})^2 A_{1}^{y-1} e^1$ , $e_1=(1,0,0)$ , $e^1=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

Имеет ли такая операция смысл?

[arseniiv]

serval в сообщении #1082929 писал(а):

$x=e_1 A_{2}^{T} A_{1}^{x-1} e^1$

Это один и тот же икс или разные?

[serval]

Это один и тот же икс. Просто проверьте степень матрицы $A_1$:

http://www.wolframalpha.com/input/?i=%7B%7B1%2C0%2C0%7D%2C%7B1%2C1%2C0%7D%2C%7B0%2C1%2C1%7D%7D%5E%7Bx-1%7D

Но я неточно сформулировал задачу. Требуется произвести замену $x \to y$ .

[arseniiv]

А, ну да, получается же число, чего это я. А где у вас тогда матрица в показателе степени? $y$ же тоже число.

serval в сообщении #1082929 писал(а):

Требуется сделать замену $x=y^2$ где $x=e_1 A_{2}^{T} A_{1}^{x-1} e^1$ , $y^2=e_1 (A_{2}^{T})^2 A_{1}^{y-1} e^1$

Что значит «сделать замену»? В обычном понимании всё легко заменяется, $x\mapsto y^2$ ли в первом равенстве, $y\mapsto \pm\sqrt x$ ли во втором (даже независимо от того, верны ли они).

-- Чт дек 17, 2015 23:38:45 --

serval в сообщении #1083054 писал(а):

Но я неточно сформулировал задачу. Требуется произвести замену $x \to y$ .

Всё ещё неточно. Такая замена элементарно делается. Попробуйте ещё точнее описать, что вы имели в виду.

[Aritaborian]

arseniiv в сообщении #1083059 писал(а):

Попробуйте ещё точнее описать, что вы имели в виду.

serval, точно сформулированный вопрос (правильно поставленная задача) содержит порою не то что половину, а добрых девяносто процентов ответа!

(Оффтоп)

Вчера на собственном опыте в очередной раз в этом убедился.

[arseniiv]

(Оффтоп)

Ну да, проблемы XY[Z] и крайне странные вопросы часто возникают от пробелов в базовых знаниях.

[serval]

arseniiv в сообщении #1083059 писал(а):

А где у вас тогда матрица в показателе степени? $y$ же тоже число.

Все сомножители в показателе степени, включая орты $e_1$ и $e^1$ являются матрицами. Значит, исходную матрицу в степени число можно представить как произведение матриц в степени матрица (каждая матрица в своей матричной степени).

[arseniiv]

Формулой бы это… А то пока кажется, что вы говорите, что $a^{bcd} = a^ba^ca^d$, но это же неверно даже в натуральных числах.