представление числа тернарной квадратичной формой

[IrinaZub]

Здравствуйте.
Подскажите, пожалуйста, как найти количество всех представлений натурального числа в виде суммы квадратов четырех попарно различных (упорядоченных по возрастанию) натуральных чисел: $n=x^2+y^2+z^2+v^2$, $x<y<z<v$, $x,y,z,v\in N$.
У меня получилось свести эту задачу к нахождению количества всех представлений натурального числа в виде тернарной квадратичной формы $x^2+y^2+2z^2$, где $x,y,z\in Z$. Что делать дальше - не знаю.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Математика (общие вопросы)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[ex-math]

Про тернарные формы читайте у Гаусса. Более современного изложения вроде бы нет.

Но у Вас-то сумма четырех квадратов. Там все гораздо проще, есть хорошие формулы. Условие упорядоченности легко снимается, если Вам только главный член нужен.

[IrinaZub]

Спасибо за ответ.
Я нашла монографию Венкова "Элементарная теория чисел", там описана теория тернарных форм, в частности, формула для количества представлений натурального числа в виде суммы квадратов трех целых чисел. Я использовала ее, когда выводила формулу для числа решений уравнения $n=x^2+y^2+z^2$, $x<y<z$, $x,y,z\in N$ при заданном натуральном $n$. Знаю еще, что тернарными формами в 30-40-х годах прошлого века занимался Линник, но пока ничего подходящего в его работах не обнаружила.

У меня ситуация, имхо, не проще. Да, есть хорошая формула для представления натурального числа в виде суммы четырех квадратов целых чисел. Но в моем-то случае все четыре числа обязательно натуральные и попарно различные, нули исключены.

[ex-math]

Представлений с нулями и одинаковыми слагаемыми сильно меньше, ведь это исключительные случаи.

[IrinaZub]

Да, это исключительные случаи, и все из них, кроме одного, я рассмотрела.
Поэтому исходная задача в итоге и свелась к нахождению количества представлений натурального числа $n$ тернарной формой $x^2+y^2+2z^2$, $x,y,z\in Z$.

[Andrey A]

IrinaZub в сообщении #1082618 писал(а):

... и свелась к нахождению количества представлений натурального числа $n$ тернарной формой $x^2+y^2+2z^2$

$2\left( x^2+y^2+2z^2\right)=\left(x+y \right)^2+\left(x-y \right)^2+\left(2z \right)^2$
Если задача решена для трех квадратов, можно исходить из представлений четного числа. Непонятно только как Вы сводите случай четырех попарно различных квадратов к $x^2+y^2+2z^2$. Число $30$ такой суммой не представить. И любое другое вида $\left(8k+7 \right)\cdot 2^{2t-1}$, хотя $1^2+2^2+3^2+4^2=30.$

[IrinaZub]

Andrey A, большое Вам спасибо за формулу! Сама, увы, не догадалась! Теперь должно получиться

[Andrey A]

IrinaZub в сообщении #1083450 писал(а):

... спасибо за формулу!

Их есть у меня.

[IrinaZub]

Хорошо, буду знать, к кому можно обратиться за советом.