Найти точное число состояний и энтропию в микрокан.ансамбле

[krupen]

Подскажите, пожалуйста, один момент в задаче.

Имеется система из $N$ невзаимодействующих частиц, каждая из которых может занимать один из двух энергетических уровней $-\varepsilon$ и $+\varepsilon$.
Микроканонический ансамбль. Полная энергия системы фиксирована и равна E. Найти полное число состояний, энтропию и температуру как функции $E(-N_ \varepsilon \leqslant E \leqslant N_ \varepsilon)$. Необходимо рассматривать только классические неразличимые частицы.(бозоны)

Как решаю задачу я:
Получается, что имеется 2 уровня частиц и 2 уровня энергий.
$N_+ + N_- = N$
$N_+ - N_- = Q$
$E = N_+\varepsilon - N_-\varepsilon = Q\varepsilon$

Так как необходимо рассматривать только неразличимые частицы, то число полных состояний, которое может задавать энергию $E$ равно $G = 1$. Так как энтропия $S = k \ln(G) $, получается, что $S = 0$ и $T\to\infty$.

Вопрос в следующем: оказывается, что не для всех микросостояний число полных состояний равно $G = 1$. Все зависит от энергии микросостояния $E$. И надо найти зависимость энтропии от этой энергии. И если как это сделать в случае различимых частиц я понимаю, то тут требуется помощь.

[Cos(x-pi/2)]

Попробуйте посмотреть на задачу, например, с такой точки зрения: имеется $N$ "двухуровневых атомов", в каждом атоме есть одна частица - "электрон", и электрон может находиться в одном из двух состояний - с энергией $+\varepsilon$ или с энергией $-\varepsilon.$

Атомы различимы; например, представьте себе, что они расположены в разных точках пространства достаточно далеко друг от друга. Энергия взаимодействия электронов друг с другом в этом случае пренебрежимо мала - "частицы не взаимодействующие".

Электроны же не различаются: они "неразличимые частицы"; это означает, что нельзя сказать, какой из $N$ электронов в каком из $N$ атомов находится.

Тогда, например, есть $G=N$ микросостояний, в которых один электрон находится на верхнем уровне, а остальные на нижнем уровне (так что $E=-N\varepsilon + 2\varepsilon$).

[krupen]

Ну если частицы переставлять, то да, получится $G = N$. Но ведь это микроканонический ансамбль и частицы не могут ходить с уровня на уровень.

[Cos(x-pi/2)]

Вы уже изменили первоначальную формулировку задачи - добавили в неё фразу

krupen в сообщении #1082954 писал(а):

Необходимо рассматривать только классические неразличимые частицы.(бозоны)

Но эта фраза только вносит путаницу, потому что "классические неразличимые частицы" - бесполезное понятие, ибо неразличимы именно квантовые частицы (причём дискретные уровни энергии имеются именно в квантовых задачах), причём неразличимыми могут быть и бозоны и фермионы.

krupen в сообщении #1082967 писал(а):

Ну если частицы переставлять...

Если бы электроны ("частицы" в задаче) стали различимыми, то каждое число микросостояний, найденное для неразличимых частиц, пришлось бы умножить на $N!$ - это количество перестановок друг с другом $N$ штук различимых частиц.

[krupen]

Да, изменила. Ну по условиям задачи так и написано, что необходимо рассматривать неразличимые классические частицы (бозоны).
А также учесть, что на одном уровне может быть сколько угодно частиц (нет запретов) И энтропия определяется, сколько способов существует посадить $N+$ на один уровень и $N-$ на другой ( $N_+ + N_-=N$ ) (неважно каких, они неразличимы)

[Cos(x-pi/2)]

krupen в сообщении #1082972 писал(а):

А также учесть, что на одном уровне может быть сколько угодно частиц (нет запретов)

Вот в наглядной модели, которую я Вам предложил в помощь для понимания того, как подсчитывать количество микросостояний, как раз и нет запретов на количество частиц с энергиями $+\varepsilon$ и $-\varepsilon.$

Так например, есть одно микросостояние ($G=1$), в котором все $N$ электронов в $N$ атомах находятся на нижнем уровне (так что $E=-N \varepsilon$). И есть одно микросостояние, в котором все $N$ электронов находятся на верхнем уровне (так что $E=N \varepsilon$). Есть $G=N$ микросостояний, в которых один электрон на верхнем уровне в каком-либо из атомов, а все остальные электроны - на нижнем уровне в остальных атомах. И аналогично есть $G=N$ микросостояний, в которых один электрон на нижнем уровне, а все остальные - на верхнем.

И есть микросостояния, в которых 2 электрона в каких-либо двух атомах сидят на верхнем уровне, а остальные на нижнем. Количество таких микросостояний можете подсчитать, как количество пар среди $N$ штук атомов (или, что то же самое, - количество пар среди $N$ электронов). И есть микросостояния, в которых 3 электрона в каких-либо трёх атомах сидят на верхнем уровне, а остальные сидят на нижнем. И так далее...

[krupen]

То есть получается, что $G$ может быть равно только либо 1 либо $N$?

[Ms-dos4]

krupen
Нет. Если у вас 2 электрона на верхнем уровне, а остальные на нижнем, то вы можете выбрать их $\[C_N^2 = \frac{{N(N - 1)}}{2}\]$ способами. Ну и т.д.

[Cos(x-pi/2)]

krupen

krupen в сообщении #1082983 писал(а):

То есть получается, что $G$ может быть равно только либо 1 либо $N$?

Конечно же нет. Подсчитайте, сколько есть вариантов иметь, например, не один, а два наших атома (из $N$ штук) с электронами на верхнем уровне (в этом случае энергия есть $E=-(N-2) \varepsilon + 2 \varepsilon).$ Т.е. подумайте, сколькими способами можно выбрать пару каких-нибудь штук из $N$ штук; перестановки двух штук внутри пары учитывать не надо, т.к. штуки по условию игры считаются неразличимыми.

Аналогично подумайте, сколькими способами можно выбрать три атома, у которых электроны будут на верхнем уровне, из $N$ атомов (в этом случае $E=-(N-3) \varepsilon + 3 \varepsilon).$

И так далее... Количество способов выбрать $M$ штук из $N$ штук без учета количества перестановок этих штук друг с другом обычно называется "числом сочетаний из N по M". Для числа сочетаний широко известна простая формула (кстати, сначала сами попробуйте её вывести, если ещё не знаете её). При $N\gg 1$ Вам может пригодиться формула Стирлинга.

Действуйте дальше самостоятельно, о подсчёте микросостояний всё вроде подсказано... И книжка существует хорошая: Ч. Киттель "Статистическая термодинамика"; там в главе 2 похожий подсчёт состояний подробно рассмотрен.

P.S. Ms-dos4, спасибо.
(Запоздал я с ответом :-)

[krupen]

Разве не получается тогда $\frac{N!}{N_- ! N_+ !}$?
Но это ведь для различимых частиц

[druggist]

krupen в сообщении #1083226 писал(а):

Но это ведь для различимых частиц

Может, стоит посмотреть параграф 55 из 5-того тома Ландау-Лифшица "Статистическая физика ч1"?

[krupen]

так и получается же, что при 2 энергетических уровнях, количество полных состояний равно 1

[druggist]

krupen в сообщении #1083266 писал(а):

так и получается же, что при 2 энергетических уровнях, количество полных состояний равно 1

Это следует из параграфа 55 ?

[krupen]

все, разобралась!
спасибо большое! была невнимательна.

[druggist]

В знаменателе какая-то "лажа"