Сходимость несобственных интегралов.

[A.M.V.]

Хрестоматийные примеры: $\int\limits_{1}^{\infty}\frac{dx}{x}=\infty$, $\int\limits_{1}^{\infty}\frac{dx}{x^2}=1$.

В первом случае "бесконечная" площадь, во втором - конечная. Как это понять не на уровне математического языка, а на уровне здравого смысла (если это возможно)?

[popolznev]

Здравый смысл у каждого свой, и не существует общепринятого способа обрабатывать бесконечность на уровне здравого смысла (я имею в виду не бесконечное значение интеграла (какое значение - как раз неважно), а бесконечный интервал, по которому интегрируем). А так-то разных наглядных объяснений можно много, наверное, придумать.

[A.M.V.]

Философская проблема сходимости и расходимости несобственных интегралов. Возможно у функций есть внутреннее свойство, которое дает сходимость либо расходимость.

[popolznev]

Что значит "внутреннее"? А бывают и внешние свойства? Сходимость несобственного интеграла действительно определяется свойствами подынтегральной функции, но не надо разводить философию на пустом месте.

[Евгений Машеров]

Да есть такое свойство. Только оно какое-то... нефилософское. Быстро убывает функция при стремлении аргумента к бесконечности - конечная величина, медленно убывает - бесконечная. Граница как раз $\frac 1 x$

[A.M.V.]

Что значит "быстро" и "медленно" убывает? По сравнению с чем? И почему эта "скорость" влияет на сходимость. Объяснение для первокурсника я понимаю. Должен быть более глубокий смысл.

[gris]

Допустим, функция непрерывна на интервале интегрирования. Возьмем произвольный отрезок, принадлежащий интервалу, и как угодно непрерывно изменим функцию на нём. На сходимость интеграла это не повлияет. Значит, дело не во внутренних свойствах функции. (я полагаю, что устраивать разрывы нечестно).
Кстати, функция вовсе и не обязана убывать или даже быть ограниченной, чтобы интеграл сходился (имею ввиду бесконечный вправо интервал интегрирования.

[A.M.V.]

gris в сообщении #1082930 писал(а):

Допустим, функция непрерывна на интервале интегрирования. Возьмем произвольный отрезок, принадлежащий интервалу, и как угодно непрерывно изменим функцию на нём. На сходимость интеграла это не повлияет. Значит, дело не во внутренних свойствах функции. (я полагаю, что устраивать разрывы нечестно).
Кстати, функция вовсе и не обязана убывать или даже быть ограниченной, чтобы интеграл сходился (имею ввиду бесконечный вправо интервал интегрирования.

Когда берем отрезок, исчезает бесконечность. Все дело в бесконечности. Площадь под графиком одной функции в бесконечных пределах конечна, другой - бесконечна. Различие можно связывать со свойствами функции.

[popolznev]

A.M.V. в сообщении #1082928 писал(а):

Должен быть более глубокий смысл.

Что значит "глубокий"?

[A.M.V.]

popolznev в сообщении #1082932 писал(а):

A.M.V. в сообщении #1082928 писал(а):

Должен быть более глубокий смысл.

Что значит "глубокий"?

Это значит должны существовать закономерности (свойства), которые позволяют (без взятия интеграла и без сравнения) относить функцию к двум вышеупомянутым классам (конечная и бесконечная площадь на бесконечном интервале (полуинтервале)).

[popolznev]

A.M.V. в сообщении #1082934 писал(а):

должны существовать закономерности (свойства), которые позволяют (без взятия интеграла и без сравнения) относить функцию к двум вышеупомянутым классам (конечная и бесконечная площадь на бесконечном интервале (полуинтервале)).

Как постигать эти свойства "без взятия интеграла и без сравнения" (кстати, какого сравнения, с чем?) - путём медитативного созерцания?

[A.M.V.]

popolznev в сообщении #1082935 писал(а):

A.M.V. в сообщении #1082934 писал(а):

должны существовать закономерности (свойства), которые позволяют (без взятия интеграла и без сравнения) относить функцию к двум вышеупомянутым классам (конечная и бесконечная площадь на бесконечном интервале (полуинтервале)).

Как постигать эти свойства "без взятия интеграла и без сравнения" (кстати, какого сравнения, с чем?) - путём медитативного созерцания?

Нет. Путем исследования функции.

Для исследования интеграла на сходимость можно не брать интеграла, а применять признаки сравнения.

[popolznev]

A.M.V. в сообщении #1082936 писал(а):

Для исследования интеграла на сходимость можно не брать интеграла, а применять признаки сравнения.

Естественно. Но вы только что перед этим писали "без сравнения".

[A.M.V.]

popolznev в сообщении #1082937 писал(а):

A.M.V. в сообщении #1082936 писал(а):

Для исследования интеграла на сходимость можно не брать интеграла, а применять признаки сравнения.

Естественно. Но вы только что перед этим писали "без сравнения".

Да. В ответ на Ваш вопрос (какого сравнения, с чем?).

"Без сравнения" - это мое предложение. Я спрашиваю, слышал ли об этом кто-нибудь?

[popolznev]

A.M.V. в сообщении #1082938 писал(а):

Да. В ответ на Ваш вопрос (какого сравнения, с чем?).

А. Понятно.

A.M.V. в сообщении #1082938 писал(а):

"Без сравнения" - это мое предложение. Я спрашиваю, слышал ли об этом кто-нибудь?

Можно, как говорится, "в лоб по определению". Но, подозреваю, вас это не удовлетворит.