Количество факториалов в арифметической прогрессии

[Ktina]

Будем рассматривать бесконечные арифметические прогрессии из натуральных чисел.
Каждому под силу найти прогрессию, в которой ровно один факториал. Например, 1, 3, 5, ...
Не менее легко найти прогрессию, в которой ровно два факториала: 2, 6, 10, ...
Немногие могут сходу указать прогрессию, в которой ровно три факториала: 2, 13, 24, ...
Прогрессию, в которой ровно 4 факториала, приходится искать, тратя на это время: 1, 18, 35, ...


А как быть дальше?
Хотелось бы найти прогрессию, в которой факториалов ровно 5, ровно 6 и т. д.
Заранее спасибо!

[12d3]

Ровно 5: $1+23n$
Ровно 6: $19+109n$
Ровно 7: $70+71n$
Ровно 8: $56+673n$
Ровно 9: $175+599n$
Ровно 10: $1+3011n$

[Ktina]

12d3
То есть, общего решения нет?

[arseniiv]

Т. е. надо, чтобы для возрастающей неотрицательной $(a_1\equiv a,\ldots,a_n)$ число $g\equiv\mathrm{GCD}_{i=1}^n (a_i!-a!)$ делило $c\equiv m!-a!$ только в случае $m = a_i$. Понятно, что придётся рассмотреть множители обоих видов чисел $g, c$.

[Ktina]

arseniiv
А без них никак?
Может, какой обходной путь имеется?

[arseniiv]

Вообще-то, я просто переформулировал условие (казалось бы, прозрачнее). Честно говоря, не имею понятия, можно ли как-то без или нельзя.

-- Чт дек 17, 2015 00:09:08 --

Немного проще может оказаться пытаться доказать, что существует последовательность, содержащая конечное не меньшее любого $n$ число факториалов в ней. Тогда можно проверять на неделимость только такие $c$, для которых $m > a_n$, а «внутренние» не проверять. Не знаю, насколько это интереснее, и это, конечно, более слабый результат.

[Ktina]

arseniiv в сообщении #1082784 писал(а):

Не знаю, насколько это интереснее, ...

Интерес, разумеется, понятие субъективное. Лично мне помимо результата интересно, занимался ли кто-либо этой проблемой ранее.

-- 16.12.2015, 23:34 --

arseniiv в сообщении #1082784 писал(а):

... , и это, конечно, более слабый результат.

Можно рассматривать более слабый результат как промежуточную ступень на пути к более сильному. И это не только в математике, кстати.

[arseniiv]

Потому и привёл.