Вопрос "Зачем?" в математике.

[Yorick]

Не секрет, что некоторые люди, занимающиеся математикой, склонны её сакрализировать в некоторой степени. В результате некоторые темы получаются выхолощенными и безжизненными.
И получается мы соревнуемся в способности запомнить более сложную структуру вместе с его внутренними взаимосвязями.
Для понимания нужны ответы на три вопроса: "зачем это потребовалось изначально? что это даёт? на какие другие вещи это обобщается?"

Предлагаю ответить на эти вопросы на что-нибудь из следующего:

предпучки
кубические множества
лемма Йонеды

И вы тоже предлагайте(что-нибудь из абстрактного, теория категорий, основания математики), попробуем друг другу объяснить.

[arseniiv]

Yorick в сообщении #1082601 писал(а):

В результате некоторые темы получаются выхолощенными и безжизненными.

Встречали ли вы людей, занимающихся математикой из-под палки? Это, если не ошибаюсь, и максимально возможный доход никогда не приносило. А без непосредственной близкой к телу необходимости заниматься скучным человек не станет (голова у него так устроена, ничего не поделаешь). Так что возникают сомнения в истинности процитированного. Высокий порог вхождения в область может представлять её некоторым весьма странной. Собственно, вы дальше и предлагаете друг другу показывать мотивацию разных вещей, а это предполагает, что вы считаете, что она есть, и это как-то не сочетается с безжизненностью.

Про лемму Йонеды* можно просто нагло скопировать абстракт из англовики:

https://en.wikipedia.org/wiki/Yoneda_lemma писал(а):

It is a vast generalisation of Cayley's theorem from group theory (viewing a group as a particular kind of category with just one object). It allows the embedding of any category into a category of functors (contravariant set-valued functors) defined on that category. It also clarifies how the embedded category, of representable functors and their natural transformations, relates to the other objects in the larger functor category. It is an important tool that underlies several modern developments in algebraic geometry and representation theory.

Для начала это вполне сойдёт.

* А она точно не должна быть леммой Ёнеды? Обычная транслитерация, вроде бы, диктует так. Можно понять, откуда могло взяться йо — через английский, потому что вряд ли 米田 信夫 (или кто-то уже после установления такого названия леммы) писал что-то про неё по-японски, что было бы прочитанно непосредственно специалистом по категориям, знающим ещё и русский.

[Munin]

Конечно, 米田 передаётся по-русски как обычное слово "ёнэда". Но с именами собственными принято поступать осторожней: они встречаются не только в учебных и научных текстах, посвящённых японскому языку, но и "отправляются в самостоятельное плавание" в русском языке. Поэтому принято в начале слова "ё" заменять на "йо" (в русском языке принято терять точки над "ё"). Также частенько "э" заменяется на "е", чтобы не создавать слишком экзотично выглядящих сочетаний букв.

Справился, оказывается, это касается только географических названий, а не антропонимов. Странно.

-- 16.12.2015 20:07:21 --

Ссылка (сам ещё не читал):
Ермолович Д. И. Имена собственные: теория и практика межъязыковой передачи.

[arseniiv]

(Оффтоп)

Munin в сообщении #1082749 писал(а):

в русском языке принято терять точки над "ё"

Да уж, это дурацкое свойство пишущих по-русски (*русографов?). Правила насчёт письма ё оставляют зияющую дыру:

http://therules.ru/vowels-4 писал(а):

Буква ё пишется в следующих случаях:
<…>
2. Когда надо указать произношение малоизвестного слова, например: река Олёкма.

Некоторые слова трудно отнести к малоизвестным или известным. Хотя здесь эта дыра ни при чём, да и дальше есть

Цитата:

Примечание. Вместо буквы ё пишется йо в иноязычных словах в начале слов и после гласных, например: йод, йот, район, майор.

Йо! Закрепили бы в правилах, что надо писать точки всегда, и делов. Правила всё равно не все соблюдают* — подумаешь, одним не всеми соблюдаемым будет больше. Я вот сейчас его тоже не соблюдаю, выписывая ё везде, где, думаю, оно должно быть вместо е.

Конечно, традиционная передача слова имеет приоритет над общим правилом, но можно ведь надеяться, что некоторые традиции подсотрутся со временем в пользу однородности там, где она может быть.

* Даже в легальных текстах и вообще, по-моему, уже везде, где закреплено применение литературной нормы. А в остальных местах, собственно, она не обязательна. Не знаю, почему не составят открытый список правил тенденций письменного узуса (таких общих, которые за десяток лет не меняются), включая типографику — правила литературного языка в этом смысле тоже проигрывают.

[apriv]

Yorick в сообщении #1082601 писал(а):

предпучки
кубические множества
лемма Йонеды

Предпучки, разумеется, нужны для того, чтобы определить пучки.
Лемма Йонеды применяется в алгебраической геометрии примерно всюду, да и в других областях математики по мере сил, и это неудивительно: это достаточно простое соображение о том, что математический объект полностью (с точностью до изоморфизма) определяется тем, как он взаимодействует с другими объектами. Ну, неудивительно: с точки зрения теории категорий у объекта нет никакой внутренней структуры, поэтому он восстанавливается, если мы знаем, какие морфизмы в него (или из него) действуют.

[Red_Herring]

Вопрос "зачем?" деликатный. Иногда ясно зачем некоторое понятие было введено, но иной раз мотивировка того математика М., кто его ввёл, неясна и понятие не слишком помогло в той задаче, которую ставил М., но зато оказалось плодотворным для совсем других целей.

В любом случае настоящая математика—очень живая и увлекательная дисциплина и весьма часто те, кто находит некоторые темы "выхолощенными и безжизненными" уподоблены евнуху, глубокомысленно рассуждающему о женщинах.

Цитата:

After Hilbert was told that a student in his class had dropped mathematics in order to become a poet, he is reported to have said "Good--he did not have enough imagination to become a mathematician" (Hoffman 1998, p. 95).

[Anton_Peplov]

Мне кажется, ТС подразумевает, что понятие имеет смысл вводить, если оно помогает решить уже известную, но еще не решенную задачу. Или проще и понятнее перерешить уже решенную. То есть - ценность задачи безусловна, а понятие имеет ценность лишь в том случае, когда служит решению задачи.

Но дело в том, что каждое введенное в математику понятие служит источником новых задач. Пока не было понятия группы, никто не мог бы задать простой вопрос: "у всякой ли бесконечной группы есть бесконечная абелева подгруппа?". Ответ, кстати, был найден только в 1968 г. И еще кучу других вопросов. В Коуровской тетради за 2010 г. перечень нерешенных вопросов занимает 155 страниц. И тут уже совершенно не важно, для решения каких задач в докембрии мезозое конце XIX в. вводилось понятие группы. Важно, что оно стало источником новых задач. Так и о каждом введенном в математику понятии можно задавать новые вопросы.

Или, быть может, по чьему-то мнению новые вопросы ценности не имеют, и математику пристало лишь разбираться со старыми? Тогда сразу же вопрос, чем старые лучше новых. Мы так быстро скатимся к вопросу "зачем чистая математика вообще", чего не хотелось бы.

[mathematics_fan]

arseniiv в сообщении #1082698 писал(а):

Yorick в сообщении #1082601 писал(а):

В результате некоторые темы получаются выхолощенными и безжизненными.

Встречали ли вы людей, занимающихся математикой из-под палки? Это, если не ошибаюсь, и максимально возможный доход никогда не приносило. А без непосредственной близкой к телу необходимости заниматься скучным человек не станет (голова у него так устроена, ничего не поделаешь).

Очень часто именно возможность получить доход и направляет исследования математики: например, какой-то ученый разбирается в какой-то теме, и, чтобы грант получил он, а не его коллеги по цеху, этот математик начинает продвигать именно ту тему, в которой он разбирается лучше других математиков. Так и рождаются выхолощенные темы в математике.