Когомологии де Рама двумерной сферы с g ручками

[Hasek]

Как лучше вычислить когомологии де Рама двумерной сферы с $g$ ручками? Мне кажется, что следует воспользоваться последовательностью Майера-Виеториса, а в качестве двух открытых подпространств $U$ и $V$ в неё взять отдельно ручки и сферу с дырками. Ручки гомеоморфны цилиндрам, которые в свою очередь гомеоморфны окружностям $S^1$, то есть имеют те же когомологии. Пересечение ручек и сферы без них снова окружности. Но как найти когомологии сферы с $g$ дырками, то есть понять, чему она гомеоморфна?

[Someone]

Hasek в сообщении #1082057 писал(а):

цилиндрам, которые в свою очередь гомеоморфны окружностям $S^1$

Ну нет, не гомеоморфны. Максимум — гомотопически эквивалентны.

[Hasek]

Someone в сообщении #1082060 писал(а):

Hasek в сообщении #1082057 писал(а):

цилиндрам, которые в свою очередь гомеоморфны окружностям $S^1$

Ну нет, не гомеоморфны. Максимум — гомотопически эквивалентны.

Согласен, я ошибся. Отображение $f\colon S^1\to [0,1] \times S^1$ задаётся как вложение $f\colon S^1 \to \{0\} \times S^1 \subset [0,1] \times S^1$, а отображение $g\colon [0,1] \times S^1\to S^1 задаётся как композиция проекции цилиндра на нижнее основание $\{0\} \times S^1$ и гомеоморфизма $f^{-1}$. Но когомологии у гомотопически эквивалентных пространств всё равно остаются те же, поэтому у ручек они как у окружностей.

А вот насчёт сферы с $g$ дырками я как-то засомневался уже... При удалении ручек получится обычная двумерная сфера без всяких дырок?

[Munin]

Hasek
А какой у вас учебник? Я тоже хочу...

[apriv]

Hasek в сообщении #1082057 писал(а):

Как лучше вычислить когомологии де Рама двумерной сферы с $g$ ручками?

Предлагаю все-таки индукцией по $g$: отрезать одну ручку и написать последовательность Майера–Вьеториса.

[Hasek]

В принципе разобрался. С ручками поступаем так же, как описал выше. После удаления их $g$ штук на сфере останется $2g$ дырок. Так как сфера с дыркой суть диск, то имеем диск с $2g-1$ дыркой. Можем описать вокруг каждой окружность и получим букет $2g-1$ окружности. То есть разбили все на окружности с известными когомологиями. Применяя последовательность Майера-Виеториса, получим $H^0(X) \simeq \mathbb{R}, ~H^1(X) \simeq \mathbb{R}^{2g}, ~H^2(X) \simeq \mathbb{R}$, все когомологии в старших размерностях, конечно, нулевые.

-- 15.12.2015, 00:30 --

Munin в сообщении #1082086 писал(а):

Hasek
А какой у вас учебник? Я тоже хочу...

К сожалению, я не математик по специальности. :( По алгебраической топологии мне нравится книжка Алана Хатчера "Алгебраическая топология" (там очень подробно изложено про гомотопии, фундаментальную группу, накрытия, высшие гомотопические группы, сингулярные и симплициальные гомологии, есть немного гомологической алгебры). Про когомологии де Рама книг с подробным и последовательным изложением не знаю. Сам был бы рад, если бы кто-то подсказал.

[Munin]

(Оффтоп)

В математическом русском языке принято говорить "$A$ есть $B$" в единственном числе (когда $A$ - единичный объект), и "$A$ суть $B$" во множественном числе. Точно так же, как английские выражения "$A$ is $B,$ $A$ are $B$". Излишнее добавление слова "суть" не добавляет наукообразия, надо точно знать, где оно уместно, а где нет.