В принципе разобрался. С ручками поступаем так же, как описал выше. После удаления их
![$g$ $g$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/c/f/3cf4fbd05970446973fc3d9fa3fe3c4182.png)
штук на сфере останется
![$2g$ $2g$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/1/7/017671fdfdd2f9c3d76558df751c6e4882.png)
дырок. Так как сфера с дыркой суть диск, то имеем диск с
![$2g-1$ $2g-1$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/a/b/babe2ea1c3eb1de8c30ab3833f0369a982.png)
дыркой. Можем описать вокруг каждой окружность и получим букет
![$2g-1$ $2g-1$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/a/b/babe2ea1c3eb1de8c30ab3833f0369a982.png)
окружности. То есть разбили все на окружности с известными когомологиями. Применяя последовательность Майера-Виеториса, получим
![$H^0(X) \simeq \mathbb{R}, ~H^1(X) \simeq \mathbb{R}^{2g}, ~H^2(X) \simeq \mathbb{R}$ $H^0(X) \simeq \mathbb{R}, ~H^1(X) \simeq \mathbb{R}^{2g}, ~H^2(X) \simeq \mathbb{R}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/b/0/ab04b9d02b66b7fd7b9e378ab92bf91a82.png)
, все когомологии в старших размерностях, конечно, нулевые.
-- 15.12.2015, 00:30 --Hasek
А какой у вас учебник? Я тоже хочу...
К сожалению, я не математик по специальности. :( По алгебраической топологии мне нравится книжка Алана Хатчера "Алгебраическая топология" (там очень подробно изложено про гомотопии, фундаментальную группу, накрытия, высшие гомотопические группы, сингулярные и симплициальные гомологии, есть немного гомологической алгебры). Про когомологии де Рама книг с подробным и последовательным изложением не знаю. Сам был бы рад, если бы кто-то подсказал.