2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Бирациональная эквивалентность, алгебраическая геометрия
Сообщение14.12.2015, 21:12 


20/12/13
139
В задаче нужно доказать, что множество всех нулей $V(\lbrace x^3+y^3-3x^2-3y^2+3xy+1 \rbrace) \subset \mathbb{A}^{2}_{\mathbb{C}}$ бирационально эквивалентно $\mathbb{A}^{1}_{\mathbb{C}}$.

Как подойти к этой задаче? Направьте, пожалуйста.

Попробовал упростить данный многочлен проведя преобразование $x=x'+1, y=y'+1$ (в точке (1,1) особеннсть, поэтому сдвигаю её на начало координат), получаю многочлен $f'=x'^3+y'^3+3x'y'$, с ним работать значительно проще.

Тут как я вижу один из способов доказать бирациональную эквивалентность - найти более простой многочлен, для которого множество нулей бирационально эквивалентно $\mathbb{A}^{1}_{\mathbb{C}}$, к примеру, множество $V(g), g \in \mathbb{C}[x,y]$ и доказать их изоморфность ($\mathbb{C}[V(\lbrace x^3+y^3-3x^2-3y^2+3xy+1 \rbrace)] \simeq \mathbb{C}[V(g)]$) или бирациональную эквивалентность ($\mathbb{C}(V(\lbrace x^3+y^3-3x^2-3y^2+3xy+1 \rbrace)) \simeq \mathbb{C}(V(g))$) или же попытаться напрямую как-то показать,что у меня тоже пока не вышло, что $\mathbb{C}(V(\lbrace x^3+y^3-3x^2-3y^2+3xy+1 \rbrace)) \simeq \mathbb{C}(\mathbb{A}^{1}_{\mathbb{C}}) \simeq \mathbb{C}(x)$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Бирацоинальная эквивалентность, алгебраическая геометрия
Сообщение15.12.2015, 00:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6221
Доказывайте так же, как и бирациональную эквивалентность окружности и прямой: если рассматривать прямые, проходящие через особую точку, то они будут пересекаться с нашей кривой в еще одной точке, координаты которой будут рациональными коэффициентами от наклона прямой.

 Профиль  
                  
 
 Re: Бирацоинальная эквивалентность, алгебраическая геометрия
Сообщение15.12.2015, 00:25 


20/12/13
139
Но мы же в комплексных числах. Там будет три пересечения, потому что:
$ax+by=0$ уравнение такой прямой, проходящей через особую точку $(0,0)$, то уравнение
$x^3+(-ax/b)^3+3ax^2/b=0$ будет всегда иметь либо один нулевой и два ненулевых корня, либо 2 нулевых.

 Профиль  
                  
 
 Re: Бирацоинальная эквивалентность, алгебраическая геометрия
Сообщение15.12.2015, 00:30 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6221
Посмотрите внимательнее. Из-за того, что точка особая, всегда будет двукратный нулевой корень.

 Профиль  
                  
 
 Re: Бирацоинальная эквивалентность, алгебраическая геометрия
Сообщение15.12.2015, 00:31 


20/12/13
139
блин,точно.Спасибо

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group