Интегрирование дифф. бинома

[iou]

Господа, имеется интеграл:

$$\int\limits {\frac{dx}{x^3\sqrt[3]{2-x^3}}$$

Если его немного преобразовать, то он будет выглядеть так

$$\int\limits {x^{-3}(2-x^3)^{\frac{-1}{3}}dx}$$

Тогда $\frac{-3+1}{3}+\frac{-1}{3}$ число целое, поэтому используем подстановку $ax^{-n}+b=t^s$ в нашем случае $2x^{-3}-1=t^{-3}$
Но что делать дальше? Ведь при взятии $dx^{3}$ будет висеть $x^2$ с которым ничего не поделать. Как быть?

[Aritaborian]

iou в сообщении #1081933 писал(а):

Если его немного преобразовать

Это вы называете «преобразовать»?

[iou]

Aritaborian в сообщении #1081937 писал(а):

iou в сообщении #1081933 писал(а):

Если его немного преобразовать

Это вы называете «преобразовать»?

Для интегрирования дифф. бинома легче воспринимать выражение вида $x^m(a+bx^n)^p$ вроде.

[Sinoid]

Преобразуйте грамотно часть подынтегрального выражения в скобках к выражению подстановки, там все сходится.

-- 13.12.2015, 22:13 --

iou в сообщении #1081942 писал(а):

легче воспринимать выражение вида $x^m(a+bx^n)^p$ вроде

которое можно привести еще к, как правило, более простому виду $x^m(c+x^n)^p$

[provincialka]

iou
Третий случай можно свести ко второму, вынесите $x^3$ под корнем и из под корня.
Еще в таких задачах удобно не выражать сразу новые переменные через старые. Дифференцировать лучше самое простое из соотношений: из $2x^{-3}-1=t^{-3}$ следует $-6x^{-4}dx= -3t^{-4}dt$. Выражаем отсюда $dx$, при подстановке $x$ сокращается.

[iou]

provincialka в сообщении #1081957 писал(а):

$2x^{-3}-1=t^{-3}$
iou
Третий случай можно свести ко второму, вынесите $x^3$ под корнем и из под корня.
Еще в таких задачах удобно не выражать сразу новые переменные через старые. Дифференцировать лучше самое простое из соотношений: из $2x^{-3}-1=t^{-3}$ следует $-6x^{-4}dx= -3t^{-4}dt$. Выражаем отсюда $dx$, при подстановке $x$ сокращается.

У меня всё получилось, спасибо!