2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Интегрирование дифф. бинома
Сообщение13.12.2015, 20:31 
Аватара пользователя
Господа, имеется интеграл: $$\int\limits {\frac{dx}{x^3\sqrt[3]{2-x^3}}$$
Если его немного преобразовать, то он будет выглядеть так $$\int\limits {x^{-3}(2-x^3)^{\frac{-1}{3}}dx}$$
Тогда $\frac{-3+1}{3}+\frac{-1}{3}$ число целое, поэтому используем подстановку $ax^{-n}+b=t^s$ в нашем случае $2x^{-3}-1=t^{-3}$
Но что делать дальше? Ведь при взятии $dx^{3}$ будет висеть $x^2$ с которым ничего не поделать. Как быть?

 
 
 
 Re: Интегрирование дифф. бинома
Сообщение13.12.2015, 20:40 
Аватара пользователя
iou в сообщении #1081933 писал(а):
Если его немного преобразовать
Это вы называете «преобразовать»? :facepalm:

 
 
 
 Re: Интегрирование дифф. бинома
Сообщение13.12.2015, 20:53 
Аватара пользователя
Aritaborian в сообщении #1081937 писал(а):
iou в сообщении #1081933 писал(а):
Если его немного преобразовать
Это вы называете «преобразовать»? :facepalm:

Для интегрирования дифф. бинома легче воспринимать выражение вида $x^m(a+bx^n)^p$ вроде.

 
 
 
 Re: Интегрирование дифф. бинома
Сообщение13.12.2015, 21:06 
Преобразуйте грамотно часть подынтегрального выражения в скобках к выражению подстановки, там все сходится.

-- 13.12.2015, 22:13 --

iou в сообщении #1081942 писал(а):
легче воспринимать выражение вида $x^m(a+bx^n)^p$ вроде

которое можно привести еще к, как правило, более простому виду $x^m(c+x^n)^p$

 
 
 
 Re: Интегрирование дифф. бинома
Сообщение13.12.2015, 21:59 
Аватара пользователя
iou
Третий случай можно свести ко второму, вынесите $x^3$ под корнем и из под корня.
Еще в таких задачах удобно не выражать сразу новые переменные через старые. Дифференцировать лучше самое простое из соотношений: из $2x^{-3}-1=t^{-3}$ следует $-6x^{-4}dx= -3t^{-4}dt$. Выражаем отсюда $dx$, при подстановке $x$ сокращается.

 
 
 
 Re: Интегрирование дифф. бинома
Сообщение13.12.2015, 22:18 
Аватара пользователя
provincialka в сообщении #1081957 писал(а):
$2x^{-3}-1=t^{-3}$
iou
Третий случай можно свести ко второму, вынесите $x^3$ под корнем и из под корня.
Еще в таких задачах удобно не выражать сразу новые переменные через старые. Дифференцировать лучше самое простое из соотношений: из $2x^{-3}-1=t^{-3}$ следует $-6x^{-4}dx= -3t^{-4}dt$. Выражаем отсюда $dx$, при подстановке $x$ сокращается.

У меня всё получилось, спасибо!

 
 
 [ Сообщений: 6 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group