На наше счастье носителем показательного распределения выступает интервал

.
Функция распределения максимума

- оригинал. Раскрывая скобки и подвергая её преобразованию Лапласа, получаем

и
![$$\mathcal L[F_{max}(p)] = \sum\limits_{k=0}^n (-1)^{2n-k} C_n^k \frac{1}{p+\lambda k}$$ $$\mathcal L[F_{max}(p)] = \sum\limits_{k=0}^n (-1)^{2n-k} C_n^k \frac{1}{p+\lambda k}$$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/e/8/ee8108b463bf9587ff0462f527806d6e82.png)
Соответстенно, преобразование Лапласа плотности вычисляем по формуле дифференцирования оригинала:
![$$\mathcal L[p_{max}(p)] = p \cdot \mathcal L[F_{max}(p)] - F_{max}(0) = \sum\limits_{k=0}^n (-1)^{2n-k}C_n^k \frac{p}{p+\lambda k}=$$ $$\mathcal L[p_{max}(p)] = p \cdot \mathcal L[F_{max}(p)] - F_{max}(0) = \sum\limits_{k=0}^n (-1)^{2n-k}C_n^k \frac{p}{p+\lambda k}=$$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/c/f/dcf89e12889c92f5ae184742dd839b4c82.png)

Первое слагаемое, очевидно, равно

Второе слагаемое пока оставим в таком виде

Разберёмся со второй случайной величиной. Плотность распределения членов суммы

. Они независимы, поэтому плотность суммы будет равна свёртке плотностей, а соответствующее изображение - произведению изображений:
}= \lambda^n n! \frac{1}{\prod\limits_{i=1}^n (p+\lambda k)}$ $\mathcal L [p_{S}](p)}= \lambda^n n! \frac{1}{\prod\limits_{i=1}^n (p+\lambda k)}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/c/b/4cb38320889cdcbfc14d01e24a25837182.png)
Задача свелась к проверке выполнения следующего равенства:

Докажем это равенство по индукции.
При

это равенство верно. Предположим, что оно верно для

.


А вот дальше как-то у меня заходит в тупик...